Question

Найти площадь фигуры которая ограничена линиями
1)у=–2х, у=корень(х), у=2
2) у=–х3, у=–1/х, у=8, х=2

Answer 1

Ответ:

1) Площадь фигуры равна $\displaystyle \bf 3\frac{2}{3}$  ед².

2) Площадь фигуры равна $\displaystyle \bf ( ln16+17)$  ед².  

Пошаговое объяснение:

Найти площадь фигуры, которая ограничена линиями.

• Формула:

        $\displaystyle \bf S=\int\limits^b_a {(f_2(x)-f_1(x))} \, dx$

• Формула Ньютона - Лейбница:

         $\displaystyle \bf \int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(x)\bigg|^b_a=F(b)=F(a)$

1) y = -2x,   y = √x,   y = 2

Найдем абсциссы точек пересечения данных графиков.

y = -2x - линейная функция, график прямая,  

y = √x - функция квадратного корня, график - ветвь параболы,  

y = 2 - прямая, параллельная оси Ох.

y = -2x   и   y = √x:

-2х = √х     ⇒     х = 0

y = -2x   и   у = 2

-2х = 2     ⇒   х = -1

y = √x   и   у = 2

√х = 2    ⇒    х = 4

Искомая площадь состоит из двух площадей, ограниченными снизу разными линиями:

S₁:   f₂(x) = 2;   f₁(x) = -2x;   a = -1;   b = 0

S₂:  f₂(x) = 2;   f₁(x) = √x;   a = 0;   b = 4

S = S₁ + S₂

$\displaystyle S=\int\limits^0_{-1} {(2+2x)} \, dx +\int\limits^4_0 {(2-\sqrt{x} )} \, dx =\\\\=\left(2x+2\cdot \frac{x^2}{2}\right)\bigg|^0_{-1} +\left(2x-\frac{x^{\frac{3}{2}}\cdot2 }{3} \right)\bigg|^4_0=\\\\=(2x+x^2)\bigg|^0_{-1}+\left(2x-\frac{2x\sqrt{x} }{3}\right)\bigg|^4_0=\\ \\=0-(-2+1)+8-\frac{2\cdot4\cdot2}{3}-0 =1+8-\frac{16}{3} =3\frac{2}{3}$

Площадь фигуры равна $\displaystyle \bf 3\frac{2}{3}$  ед².

2. у = -х³,   у = -1/х,   у = 8,   х = 2

у = -х³ - кубическая парабола, расположенная во 2 и 4 четвертях,  

у = -1/х - гипербола, расположенная во 2 и 4 четвертях,  

у = 8 - прямая, параллельная оси Ох,  

х = 2 - прямая, параллельная оси Оу.

Здесь искомая площадь разделится на три площади.

Абсциссы точек пересечения графиков:

у = -х³    и   у = -1/х

$\displaystyle -x^3=-\frac{1}{x} \\\\\frac{1}{x}-x^3=0\\ \\\frac{(1-x)(1+x)(1+x^2)}{x} =0$

⇒ x = ±1

y = -1/x   и   у = 8

-1/х = 8   ⇒   х = -1/8

S₁:   f₂(x) = -1/х;   f₁(x) = -x³;   a = -1;   b = -1/8

S₂:   f₂(x) = 8;   f₁(x) = -х³;   a = -1/8;   b = 1

S₃:   f₂(x) = 8;   f₁(x) = -1/x;   a = 1;   b = 2

S = S₁ + S₂ + S₃

$\displaystyle S=\int\limits^{-\frac{1}{8} }_{-1} {\left(-\frac{1}{x}+x^3\right) } \, dx +\int\limits^1_{-\frac{1}{8} } {(8+x^3}) \, dx +\int\limits^2_1 {\left(8+\frac{1}{x}\right) } \, dx =\\\\=\left(-ln|x|+\frac{x^4}{4}\right)\bigg|^{-\frac{1}{8} } _{-1}+\left(8x+\frac{x^4}{4} \right)\bigg|^1_{-\frac{1}{8} }+(8x+ln|x|)\bigg|^2_1=\\\\=-ln\frac{1}{8}+\frac{1}{8^4\cdot4} +ln1-\frac{1}{4} +8+\frac{1}{4}+1-\frac{1}{8^4\cdot4} +16+ln2-8-ln1=$

$\displaystyle =-ln\frac{1}{8}+1+16+ln2=ln\left(2:\frac{1}{8}\right) +17=ln16+17$

Площадь фигуры равна $\displaystyle \bf ( ln16+17)$  ед².  

#SPJ1