Question

Яким трикутником - гострокутним, тупокутним чи
прямокутним є трикутник АВС, якщо А (-1; 2), В (3; 7), С (2; -1)?

Answer 1

Ответ:

Тупоугольный.

Пошаговое объяснение:

Как известно, длина отрезка с концами в точках $M(x_1;y_1)$  и  $N(x_2;y_2)$ вычисляется по формуле (которая доказывается с помощью теоремы Пифагора)

                            $|MN|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$

Поэтому

                $|AB|=\sqrt{(3-(-1))^2+(7-2)^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41};$

               $|AC|=\sqrt{(2-(-1))^2+(-1-2)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18};$

                  $|BC|=\sqrt{(2-3)^2+(-1-7)^2}=\sqrt{1+64}=\sqrt{65}.$

Видим, что сторона |BC| самая большая, поэтому эта сторона лежит напротив самого большого угла. Чтобы узнать какой это угол - острый, тупой или прямой, выясним, какого знака косинус этого угла. Положительность косинуса будет означать, что угол A острый, отрицательность - что угол тупой, ну а если косинус равен нулю, угол будет прямым. Применим теорему косинусов

                 $|BC|^2=|AB|^2+|AC|^2-2|AB|\cdot |AC|\cdot \cos A.$

И з нее следует, что

               $\cos A=\dfrac{|AB|^2+|AC|^2-|BC|^2}{2|AB|\cdot |AC|}=\dfrac{41+18-65}{2\cdot \sqrt{41}\cdot \sqrt{18}} < 0\Rightarrow$

угол A тупой, то есть треугольник тупоугольный.