Question

Какие из следующих отношений являются отношениями эквивалентности?

Укажите все верные варианты ответа

Ответ #1

"
�
a и
�
b учатся в одном классе" на множестве учеников школы №1 г. Санкт-Петербурга


"
�
a является сыном
�
b" на множестве людей на Земле


"
�
a моложе
�
b" на множестве людей на Земле


"
�
a является братом
�
b" на множестве людей на Земле


"
�
a знаком с
�
b" на множестве людей на Земле


"
�
a и
�
b родились в одном месяце" на множестве людей на Земле


"
�
a любит
�
b" на множестве людей на Земле
Объясните пожалуйста по какому принципу вы находили эти отношения эквивалентности

Answer 1

Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пусть имеется отношение $R\subset A\times A$.

1. Рефлексивность:

$\forall{\,} a\in A\to (a;\ a)\in R$

2. Симметричность:

$\forall{\,} a,b\in A,\ (a;\ b)\in R\to (b;\ a)\in R$

3. Транзитивность:

$\forall{\,} a,b,c\in A,\ (a;\ b)\in R,\ (b;\ c)\in R\to (a;\ c)\in R$

Рассмотрим отношения.

1. "a и b учатся в одном классе" на множестве учеников школы №1 г. Санкт-Петербурга.

Проверим рефлексивность. Для этого, нужно выяснить, верно ли соотношение $(a;\ a)\in R$.

"a и a учатся в одном классе"

Очевидно, это верно. Ученик и этот же ученик учатся в одном классе. Значит, отношение рефлексивно.

Проверим симметричность. Для этого, нужно предположить, что $(a;\ b)\in R$, и проверить, верно ли соотношение $(b;\ a)\in R$.

Предположим, что "a и b учатся в одном классе".

Заметим, что "b и а учатся в одном классе" - верное утверждение. Значит, отношение симметрично.

Проверим транзитивность. Для этого, нужно предположить, что $(a;\ b)\in R$ и  $(b;\ c)\in R$, а затем проверить, верно ли соотношение $(a;\ c)\in R$.

Предположим, что "a и b учатся в одном классе", а также b и c учатся в одном классе".

Заметим, что "a и c учатся в одном классе" - верное утверждение. Вместе с учеником b в одном классе учится как а, так и с. То есть, все трое учатся в однмо классе. Значит, отношение транзитивно.

Отношение (1) рефлексивно, симметрично и транзитивно. Значит, это отношение эквивалентности.

2. "a является сыном b" на множестве людей на Земле.

Проверяем рефлексивность. Рассмотрим соотношение:

"a является сыном a"

Очевидно, что это неверно. Никакой человек не является своим собственным сыном. Значит, это отношение не рефлексивно.

Проверку на симметричность и транзитивность можно не выполнять, так как первое условие для отношения эквивалентности уже не выполнено. Отношение (2) не является отношением эквивалентности.

3. "a моложе b" на множестве людей на Земле.

Проверяем рефлексивность. Рассмотрим соотношение:

"a моложе a"

Вновь, это неверное утверждение. Никакой человек не моложе самого себя. Значит, это отношение не рефлексивно.

Следовательно, отношение (3) не является отношением эквивалентности.

4. "a является братом b" на множестве людей на Земле.

Проверяем рефлексивность. Рассмотрим соотношение:

"a является братом a"

Это неверное утверждение. Никакой человек не является братом самого себя. Значит, это отношение не рефлексивно.

Следовательно, отношение (4) не является отношением эквивалентности.

5. "a знаком с b" на множестве людей на Земле.

Проверяем рефлексивность. Рассмотрим соотношение:

"a знаком с a"

Утверждение верно. Можно сказать, что каждый человек знаком с самим собой. Значит, это отношение рефлексивно.

Проверяем симметричность. Предположим, что "a знаком с b".

"b знаком с a" в этом случае - это верное утверждение. Два человека a и b знакомы друг с другом, поэтому как a знаком с b, так и b знаком с a. Отношение симметрично.

Проверяем транзитивность. Предположим, что "a знаком с b" и "b знаком с с".

"a знаком с с" - в общем случае неверное утверждение. Человек b знаком с двумя другими, эти дво в свою очередь не обязаны знать друг друга. Значит, отношение не транзитивно.

Следовательно, отношение (5) не является отношением эквивалентности.

6. "a и b родились в одном месяце" на множестве людей на Земле.

Проверяем рефлексивность. Рассмотрим соотношение:

"a и a родились в одном месяце"

Утверждение верно. Каждый человек родился в том месяце, в котором родился он сам. Отношение рефлексивно.

Проверяем симметричность. Предположим, что "a и b родились в одном месяце".

"b и a родились в одном месяце" - верное утверждение. a и b родились в одном месяце, о котором и идет речь. Отношение симметрично.

Проверяем транзитивность. Предположим, что "a и b родились в одном месяце" и "b и с родились в одном месяце".

"a и с родились в одном месяце" - верное утверждение. С человеком b в одном месяце родились и a и с. Таким образом, все трое родились в одном месяце. Отношение транзитивно.

Следовательно, отношение (6) является отношением эквивалентности.

7. "a любит b" на множестве людей на Земле.

Проверяем рефлексивность. Рассмотрим соотношение:

"a любит a" - в общем случае, наверное, это неверное утверждение. Вероятно, можно представить человека, который не любит себя, а значит данное отношение не рефлексивно.

Но в любом случае это отношение не симметрично и не транзитивно. Если первый человек любит второго, это не значит, что второй любит первого (не симметрично). Если первый человек любит второго, а второй любит третьего, то это не значит, что первый любит третьего.

Таким образом, отношение (7) не является отношением эквивалентности.

Ответ: отношениями эквивалентности являются отношения 1 и 6