Question

Целые числа a,b,с и d которые не обязательно различны выбираются из интервала [1 ; 2022] Найдите вероятность того , что ad - bc будет четной

Answer 1

Ответ:

0,625.

Объяснение:

Заметим, что четных и нечетных чисел на этом промежутке одинаковое количество, поэтому вероятность случайным образом выбрать четное число равно 0,5 (та же вероятность выбрать нечетное число). Сделаем задачу сначала подробно, а потом подумаем, как решение можно упростить. Запишем в виде пяти столбцов различные возможности для a, b, c, d  и ad-bc в смысле четности и нечетности, только для удобства расположим столбцы так: a, d, b, c, ad-bc. Всего у нас 16 равновероятных возможностей, поэтому в ответе в знаменателе будет стоять 16, а в числителе - сколько раз в последнем столбце получается четное число. Для простоты четное число будем записывать в виде 0, а нечетное в виде 1.  

a d b c ad-bc

0 0 0 0    0

0 0 0  1    0

0 0  1  0   0

0 0  1  1    1

0  1  0 0   0

0  1  0  1   0

0  1   1  0  0

0  1   1   1  1

1   0 0 0   0

1  0 0  1    0

1  0  1  0   0

1  0  1  1    1

1   1  0 0   1

1   1  0  1   1

1   1   1  0  1

1   1   1   1  0

Видим, нечетный ответ встретился в 6 случаях, значит четный ответ - в 16-6=10 случаях. Поэтому вероятность четного ответа равна

                                               $\dfrac{10}{16}=\dfrac{5}{8}=0,625.$

Обратите внимание, как я располагал строчки - если не обращать внимание на последний столбец, я как бы записывал числа в двоичной системе счисления в порядке возрастания (можно выразиться даже более учёно - в лексикографическом порядке).

Конечно, можно было не выписывать все возможности, а сообразив, что их $2^4=16$ штук (выборки с повторениями), понять, что нечетный результат (их меньше, поэтому лучше подсчитывать их) будет только если одно из слагаемых четно, а второе нечетно.

Четность первого получается тремя способами - 00, 01, 10, нечетность второго - одним способом - 11. Получаем три возможности.

Нечетность первого и четность второго дает еще три возможности.

Еще более лихой способ:

P(ad-bc нечет)=P((ad  чет)(bc нечет)+(ad нечет)(bc чет))=

P(ad чет)P(bc нечет)+P(ad нечет)P(bc чет).

Второе слагаемое равно первому, поэтому вычисляем только первое.

P(ad чет)=1-P(ad нечет)=1-P(a нечет)P(d нечет)=1-0,5·0,5=0,75.

P(bc нечет)=0,25.

В сумме получае  2· 0,75·0.25=0,375, а ответ в задаче

                                                1-0,375=0,625.

При вычислениях я использовал  то, что

вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей,

вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей,

а также использовал переход к противоположному событию.

А напоследок - как я бы сформулировал эту задачу, если бы давал ее в институте.

Найти вероятность того, что площадь параллелограмма, построенного на векторах {a,b}  и {c,d}, является целым четным числом (конечно, откуда берутся числа, надо указывать).

Дело в том, что площадь такого параллелограмма вычисляется как

                                               |ad-bc|

(кстати, ad-bc - это определитель, чьи столбцы (или строки - по желанию) состоят из координат векторов).