Question

Задача 3: Вы решили вложить 150 000 рублей в портфель ценных бумаг. На сегодняшний день Ваш капитал составляет лишь 50 000 рублей. Вами было принято решение взять в долг недостающие 100 000 рублей. Допустим, что отклонение по Вашему портфелю составит 15%. Какое будет отклонение доходности по Вашему собственному капиталу?​

Answer 1

Для решения задачи воспользуемся формулой для расчета комбинированной дисперсии:

σ²комб = w1² × σ1² + w2² × σ2² + 2 × w1 × w2 × σ1 × σ2 × ρ

где:

σ²комб - комбинированная дисперсия портфеля
w1, w2 - весовые коэффициенты первой и второй активов (соответственно)
σ1², σ2² - дисперсии доходности первой и второй активов (соответственно)
ρ - коэффициент корреляции между доходностями активов
Для начала, найдем доходность по портфелю:

Rp = w1 × R1 + w2 × R2

где:

Rp - доходность портфеля
R1, R2 - доходности первой и второй активов (соответственно)
Поскольку мы инвестируем всю сумму в портфель ценных бумаг, то w1 + w2 = 1. Для простоты расчетов примем, что мы инвестируем всю сумму в один актив, тогда w1 = 1 и w2 = 0.

Тогда:

Rp = 1 × R1 + 0 × R2 = R1

Далее найдем комбинированную дисперсию портфеля:

σ²комб = w1² × σ1² + w2² × σ2² + 2 × w1 × w2 × σ1 × σ2 × ρ
σ²комб = 1² × σ1² + 0² × σ2² + 2 × 1 × 0 × σ1 × σ2 × ρ
σ²комб = σ1²

Теперь найдем отклонение доходности портфеля:

σp = sqrt(σ²комб) = sqrt(σ1²)

Поскольку мы приняли решение взять в долг 100 000 рублей, то сумма нашего капитала составляет 50 000 рублей, а сумма вложений - 150 000 рублей. Соответственно, наша доля в портфеле составляет 50 000 / 150 000 = 1/3.

Отклонение доходности по нашему собственному капиталу будет равно:

σсобств = σp / sqrt(w)

где:

σсобств - отклонение доходности по собственному капиталу
w - доля нашего капитала в портфеле
Подставляем значения:

σсобств = σp / sqrt(w) = sqrt(σ1²) / sqrt(1/3) = sqrt(3) ×