Question

Довжина кола, яке проходить через кінці однієї сторони квадрата і дотикається до паралельної їй сторони, дорівнює 30π см. Знайдіть сторону квадрата.

Answer 1

Ответ:

Сторона квадрата равна 24 см.

Пошаговое объяснение:

Длина окружности, которая проходит через концы одной стороны квадрата и соприкасается с параллельной ей стороной, равна 30π см. Найдите сторону квадрата.

Дано: ABCD - квадрат.

C и D ⊂ Окр.(О;R)

AB - касательная.

С = 30π см.

Найти: сторону квадрата.

Решение:

Пусть сторона квадрата а см.

Найдем радиус окружности:

• Формула длины окружности:

              С = 2πR

2πR = 30π

R = 15 см.

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

⇒ ОК ⊥ АВ

• Если отрезок перпендикулярен одной из параллельных прямых, то он перпендикулярен и к другой прямой.

⇒ ОЕ ⊥ DC

Рассмотрим ΔDOC - равнобедренный (DO = OC = R)

ОЕ - высота.

• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой.

⇒ DE = EC = a/2 см

Рассмотрим ΔОСЕ - прямоугольный.

КЕ = а см; КО = R = 15 см;   ⇒   ОЕ = (а - 15) см

По теореме Пифагора:

$\displaystyle OC^2=CE^2+OE^2\\\\225=\frac{a^2}{4}+(a-15)^2\\ \\\frac{a^2}{4}+a^2-30a+225=225\\ \\\frac{5}{4}a^2-30a=0\;\;\;\;\;|\cdot4\\\\ 5a^2-120a=0\\\\5a(a-24)=0\\\\a_1=0;\;\;\;\;\;a_2=24$

a₁  - не подходит по условию задачи.

⇒ сторона квадрата равна 24 см.