чотири числа становлять арифметическую прогрессию. Якщо до них додати відповідно 12, 4, 4, 28, то нові числа становитимуть геометричну прогресію. Найти ці числа
Ответы
Позначимо четыре числа из арифметической прогрессии через a, a+d, a+2d и a+3d. Тогда получим систему уравнений:
a + 12 = ar
a + d + 4 = ar^2
a + 2d + 4 = ar^3
a + 3d + 28 = ar^4
где r - знаменатель геометрической прогрессии.
Разделим третье уравнение на второе и второе на первое, получим:
(a + 2d + 4)/(a + d + 4) = r
(a + d + 4)/(a + 12) = r
Умножим первое уравнение на (a+12)/(a+2d+4), получим:
r^2 = (a + 12)/(a + d + 4)
Также можем выразить r из второго уравнения:
r = (a + d + 4)/(a + 12)
Подставляем выражение для r в первое уравнение:
(a + 12)/(a + d + 4) = ((a + d + 4)/(a + 12))^2
Решая полученное квадратное уравнение относительно a+d, получим:
a + d = -6 или a + d = -\frac{4}{3}
Проверяем оба варианта:
Если a + d = -6, то a = x, a + d = x - 6, a + 2d = x - 12, a + 3d = x - 18. Подставляем в уравнения для геометрической прогрессии и получаем:
x^4 - 10x^3 + 9x^2 + 216x - 576 = 0
Это уравнение имеет корни x = 12, x = 16, x = 24 и x = 30. Тогда числа из арифметической прогрессии равны -6, 0, 6 и 12, а числа из геометрической прогрессии равны 6, 12, 24 и 48.
Если a + d = -\frac{4}{3}, то a = x, a + d = x - \frac{4}{3}, a + 2d = x - \frac{8}{3}, a + 3d = x - 4. Подставляем в уравнения для геометрической прогрессии и получаем:
27x^4 - 296x^3 + 684x^2 - 384x - 256 = 0
Это уравнение имеет корень x = 4/3. Тогда числа из арифметической прогрессии равны 4/3, 8/3, 4 и 20/3, а числа из геометрической прогрессии равны 12/5, 24/5, 48