Ответы
Ответ:
Розв'язок:
Запишемо рівняння у вигляді sin 7x - sin x = 0 і спростимо його за допомогою тригонометричної формули різниці синусів:
2 cos 4x sin 3x = 0
Отримали добуток двох множників, що дорівнює нулю. Тоді один з множників дорівнює нулю:
cos 4x = 0 або sin 3x = 0
Розв'язуємо перше рівняння:
4x = π/2 + kπ, де k - ціле число
x = (π/8 + kπ/4), де k=0,1,2,3
Підставляючи кожне значення x у друге рівняння, знаходимо відповідні значення k:
- k=0: sin 0 = 0
- k=1: sin 3π/8 = (1-√2/2)/2
- k=2: sin π/2 = 1
- k=3: sin 11π/8 = (1+√2/2)/2
Отже, маємо чотири корені рівняння, що належать проміжку [0;π]:
x₁ = 0, x₂ = π/8, x₃ = π/2, x₄ = 3π/8
Відповідь: 4 корені.
Рівняння tg x –3ctg x –2 = 0 можна переписати у вигляді (tg x) / 3 – 2 = 0.
Звідси tg x = 6.
У проміжку [0;2π] тангенс має один корінь, який знаходиться у проміжку (π/2;π) (тангенс є додатним в цьому проміжку). Але ми шукаємо корені рівняння tg x –3ctg x –2 = 0, тому його коренем має бути також x = 0. Отже, у даному проміжку рівняння має два корені.