У прямокутному трикутнику MNF (кут M -прямий) на гіпотенузі взяли точку K так,що NK =KM.Доведіть,що NK=KV
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Для доведення того, що NK=KV, побудуємо перпендикуляр KV до гіпотенузи MN. Оскільки в прямокутному трикутнику протилежні кути співпадають, то кут MKN дорівнює куту FMK, а кут KNM дорівнює куту KFN. Звідси випливає, що трикутники MKN і KFN є подібними за двома кутами.
Отже, маємо наступну відповідність сторін:
KN : KF = KM : FN
Оскільки в трикутнику MNF виконується теорема Піфагора: MF^2 = MN^2 + NF^2, то маємо:
KF^2 = MF^2 - KM^2 = MN^2 + NF^2 - KM^2
Оскільки NK = KM, то можемо замінити KM на NK, отримаємо:
KF^2 = MN^2 + NF^2 - NK^2
Аналогічно, для трикутника KVN можна записати:
KV^2 = VN^2 + NF^2
Оскільки виконується умова NK = KM, то сторона MNF ділить гіпотенузу на дві рівні частини. Отже, сторона NF ділить сторону KF на дві рівні частини, тобто KF = 2NF. Підставляємо це в попередні рівняння:
KF^2 = 4NF^2 = 3NF^2 + NF^2 = 3(NF^2 + MN^2/4) + NF^2/4 - NK^2
Таким чином, маємо:
KF^2 - KV^2 = 3(NF^2 + MN^2/4) + NF^2/4 - NK^2 - (VN^2 + NF^2)
Але за теоремою Піфагора в трикутнику NVF виконується:
VN^2 + NF^2 = VF^2
Тоді попереднє рівняння можна переписати у вигляді:
KF^2 - KV^2 = 3(NF^2 + MN^2/4) + NF^2/4 - NK^2 - VF^2