Question

Сторони прямокутника дорівнюють 6 см і 10 см. Знайдіть кут між діагоналями прямокутника

Answer 1

Решение.

По теореме Пифагора найдём диагонали прямоугольника со сторонами 6 см и 10 см :

$\bf d^2=10^2+6^2=136\ \ ,\ \ d=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$  

В точке пересечения диагонали делятся пополам .

По теореме косинусов можно найти угол между диагоналями .

$\displaystyle \bf 6^2=\Big(\dfrac{d}{2}\Big)^2+\Big(\dfrac{d}{2}\Big)^2-2\cdot \dfrac{d}{2}\cdot \dfrac{d}{2}\cdot cos\varphi\\\\\\36=\frac{d^2}{4}+\frac{d^2}{4}-2\cdot \frac{d^2}{4}\cdot cos\varphi \\\\\\36=\frac{d^2}{2}-\frac{d^2}{2}\cdot cos\varphi \\\\\\36=\frac{d^2}{2}\cdot (1-cos\varphi )\\\\\\36=\frac{136}{2}\cdot (1-cos\varphi )\\\\1-cos\varphi =\frac{36\cdot 2}{136}\ \ \ ,\ \ \ 1-cos\varphi =\frac{9}{17}\ \ \ ,\ \ \ cos\varphi=\frac{8}{17}\\\\\\\varphi=arccos\frac{8}{17}\approx 61,9^\circ$