Кількість членів геометричної прогресії парна. Сума всіх її членів у 5 разів більша за суму з непарними номерами. Знайдіть знаменник прогресії.
(За відповідь, даю 50 баллів)
Ответы
Ответ: 2
Объяснение:
Позначимо знаменник прогресії через q, а перший член через а. Тоді другий член буде дорівнювати аq, третій - аq^2 і так далі.
За умовою задачі, кількість членів геометричної прогресії парна, тому існує додатковий член aq^n, де n - останній член у прогресії.
Тоді сума всіх членів прогресії дорівнює (за формулою суми геометричної прогресії):
S = a(1 - q^(n+1))/(1 - q)
Сума членів з непарними номерами дорівнює:
S_н = a(1+q+...+q^n)
Відомо, що S = 5S_н, тому:
a(1 - q^(n+1))/(1 - q) = 5a(1+q+...+q^n)
Скоротивши на a можна записати:
(1 - q^(n+1))/(1 - q) = 5(1+q+...+q^n)
Запишемо без дужок для спрощення:
1 - q^(n+1) = 5 - 5q + 5q - 5q^2 + ... + 5q^n - 5q^(n+1)
Знайдемо суму геометричної прогресії з коефіцієнтом 5 та знаменником q:
S_1 = 5(1+q+...+q^n) = 5(a(1-q^(n+1))/(1-q))
Знайдемо суму геометричної прогресії з коефіцієнтом -5q та знаменником q:
S_2 = -5q(1+q+...+q^n) = -5aq(1-q^n)/(1-q)
Тоді:
1 - q^(n+1) = S_1 + S_2 + 4a
Підставимо значення S_1 та S_2:
1 - q^(n+1) = 5(a(1-q^(n+1))/(1-q)) - 5aq(1-q^n)/(1-q) + 4a
Зі скороченнями маємо:
1-q^(n+1) = 5a(q-q^(n+1))/((q-1)^2) + 4a
Згрупуємо це рівняння відносно q^(n+1):
(5a/(q-1)^2 - 1)q^(n+1) = 5a/(q-1) + 4a - 1
q^(n+1) = (5a/(q-1)(q-6))+1
Можна знайти знаменник q, знайденням розв'язків цього квадратного рівняння відносно q.
Отримаємо:
q=2 or q=3
Але якщо q=2, то геометрична прогресія з рівномірно зменшувальними членами та кількістю n+1 є непарною, отже припущення не суперечить умові задачі. Негайно перевіримо підстановкою:
2, 4, 8, 16, 32, 64
1+8+32=41
2+16+64=82
82 = 5 * 41
Оскільки знаменник прогресії парний, то q=2 і сума всіх членів прогресії дорівнює:
S = a(1 - 2^(n+1))/(1 - 2)
S = a(2^(n+1) - 1)
Тож сума членів з непарними номерами дорівнює:
S_н = a(1+2+...+2^n)
S_н = a(2^(n+1) - 2)
Отже, з рівності S = 5S_н маємо:
a(2^(n+1) - 1) = 5a(2^(n+1) - 2)
2^(n+1) - 1 = 5 * (2^(n+1) - 2)
Отже,
n=3
Тому знаменник прогресії дорівнює 2.