Question

У трикутнику ABC медіана BM у два рази менша від сторони BC. Відомо, що ∠ABM=20° Знайдіть кут ABC. ​

Answer 1

Оскільки медіана BM поділяє сторону BC на дві рівні частини, то можна записати: BM = MC = BC / 2.

Розглянемо трикутник ABM. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів, то за умовою задачі можемо записати:

∠ABM + ∠AMB + ∠BAM = 180°

20° + ∠AMB + (180° - ∠ABC) / 2 = 180°

Звідси отримуємо:

∠AMB + (180° - ∠ABC) / 2 = 160°

∠AMB = 160° - (180° - ∠ABC) / 2

∠AMB = 80° + ∠ABC / 2

Розглянемо трикутник ABC. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів, то можемо записати:

∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°

Звідси отримуємо:

∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠BAC

∠ACB = 180° - ∠ABC - (180° - 2∠AMB)

∠ACB = 2∠AMB - ∠ABC

Підставимо значення ∠AMB, яке ми знайшли раніше, і отримаємо:

∠ACB = 2(80° + ∠ABC / 2) - ∠ABC

∠ACB = 160° + ∠ABC - ∠ABC / 2

∠ACB = 160° + ∠ABC / 2

Також за теоремою про медіану можна записати:

BM² + MC² = BC² / 2

AB² / 4 + (BC / 2)² = BC² / 4

AB² / 4 + BC² / 4 = BC² / 4

AB² / 4 = 0

AB = 0

Отримали, що сторона AB дорівнює 0, що суперечить умовам задачі. Отже, така ситуація неможлива і ми дійсно можемо знайти кут ABC.

Підставимо значення ∠ABM, яке нам дано, і отримаємо:

20° + 80° + ∠ABC / 2 + ∠ABC / 2 = 180°

∠ABC + 100° = 360°

∠ABC = 260°

Отже, кут ABC дорівнює 260 градусів.