6.3а допомогою якої з наведених систем рівнянь можна знайти катет прямокутного трикутника, якщо відомо, що один із катетів менший за другий на 7см, а гіпотенуза дорівнює 13см.
Ответы
Ответ:
3.9 см.
Объяснение:
Задачу можна розв'язати за допомогою системи рівнянь, що описує відношення між катетами та гіпотенузою прямокутного трикутника.
Нехай x позначає довжину меншого катета, тоді x + 7 позначатиме довжину більшого катета. За теоремою Піфагора маємо:
x^2 + (x + 7)^2 = 13^2
Розкриваємо дужки та спрощуємо:
x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169
Об'єднуємо подібні доданки та переносимо все, що не містить змінну x, на ліву сторону:
2x^2 + 14x - 120 = 0
Ділимо обидві сторони на 2, щоб спростити коефіцієнти перед x^2 та x:
x^2 + 7x - 60 = 0
Отримане рівняння є квадратним, тому можна застосувати формулу дискримінанту:
D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-60) = 349
Якщо дискримінант додатній, то маємо два розв'язки:
x1,2 = (-b ± √D) / 2a
x1,2 = (-7 ± √349) / 2
x1 ≈ -10.9 або x2 ≈ 3.9
Оскільки довжина катету не може бути від'ємною, то правильним розв'язком є x = x2 ≈ 3.9 см.
Отже, довжина меншого катета прямокутного трикутника дорівнює 3.9 см.
квадрат гіпотенузи = сума квадратів катетів.
Записавши це рівняння для нашого випадку, отримаємо:
x^2 + (x + 7)^2 = 13^2,
Тепер потрібно розв'язати це рівняння для знаходження значення x. Для цього розкриваємо дужки та спрощуємо:
x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 169,
2x^2 + 14x - 120 = 0.
Ділимо обидві частини на 2:
x^2 + 7x - 60 = 0.
Отримали квадратне рівняння. Розв'язуємо його за допомогою формули:
x = (-7 + √(7^2 + 460))/2 або x = (-7 - √(7^2 + 460))/2.
x = (-7 + √289)/2 = (-7 + 17)/2 = 5.
Таким чином, менший катет дорівнює 5 см.
Отже, система рівнянь, яку можна скласти для знаходження катета прямокутного трикутника з відомими гіпотенузою та різницею між катетами, має вигляд:
{x^2 + (x + 7)^2 = 13^2,
x - (x + 7) = -7}.