Question

Сколько существует пар взаимно простых натуральных чисел a и b , при которых значение выражения $\dfrac{a}{b}+ \dfrac{14b}{9a} \in \mathbb N$

Answer 1

Ответ:

4 пары.

Объяснение:

                          $\dfrac{a}{b}+\dfrac{14b}{9a}=\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}\in N,$

                это означает, что 9a²+14b² делится на 9ab.

                                    Но 9a² делится на 9⇒

                                       14b² делится на 9,

        а поскольку 14 взаимно просто с 9, b² делится на 9 ⇒

                         b делится на 3; b=3c, где c∈N⇒

                          9a²+14·9c² делится на 9·3ac⇒

                                a²+14c² делится на 3ac.

                                 Но 14c²делится на c ⇒

                                        a²делится на c.

                   Но по условию a взаимно просто с b⇒

               a взаимно просто с любым делителем b ⇒

                                 a взаимно просто с c ⇒

                                   a² взаимно просто с c,

              поэтому a² может делиться на c только если c=1.

                            Поэтому a²+14 делится на 3a,

                а поскольку a² делится на a, 14 делится на a.

Таким образом, поиск возможных значений a сводится к исследованию делителей числа 14, взаимно простых с b.

Напомним, что b мы уже нашли: b=3c=3, это число взаимно просто с 14, поэтому и все делители 14 взаимно просты с b.

1) a=1;  a²+14=15 делится на 3a=3. Получили первую пару a=1, b=3.

2) a=2; a²+14=18 делится на 3a=6. Получили вторую пару a=2, b=3.

3) a=7; a²+14=63 делится на 3a=21. Получили третью пару a=7, b=3.

4) a=14,  a²+14=210 делится на 3a=42. Получили четвертую пару a=14, b=3.