Question

Дослідіть за допомогою похідної функцію і побудуйте її графік f(x)=x/2-x^4

Answer 1

Ответ:

Почнемо з обчислення похідної функції `f'(x)`:

f'(x) = (1/2 - 4x^3)

Похідна функції дає нам інформацію про зміну функції в кожній точці її області визначення, тому знак першої похідної може розповісти нам про інтервали зростання та спадання функції. Розв'яжемо нерівність `f'(x) > 0`:

1/2 - 4x^3 > 0

4x^3 < 1/2

x^3 < 1/8

x < 1/2

Отже, функція зростає на інтервалі (-∞, 1/2) і спадає на інтервалі (1/2, +∞).

Точки екстремуму можуть бути знайдені за допомогою другої похідної. f"(x) = -12x^2, і ця функція від'ємна на всій області визначення, тому ми маємо максимум у точці x = 0.

Тепер побудуймо графік нашої функції:


Отже, ми бачимо, що функція зростає з `-∞` до `x = 1/2`, досягає максимуму в `x = 0`, і спадає на `x > 1/2`.