Question

Точки М і Р лежать відповідно на сторонах АВ і ВС трикутника АВС, АВ•РВ=СМ•МВ. Доведіть що МРПАРАЛЕЛЬНІ АС

Answer 1

Ответ:

Враховуючи, що точки M і R знаходяться на сторонах AB і BC трикутника ABC відповідно, а AB × RV = CM × MV, потрібно довести, що MR паралельна AC.

Одним із способів довести це є використання подібних трикутників. Нехай трикутник ABE подібний до трикутника CBV, а трикутник ABR подібний до трикутника CMP, де E і P — точки на сторонах AC і BC відповідно. Зверніть увагу, що відношення довжин сторін подібних трикутників однакове, тому маємо:

AB / CB = AE / CV (1) AB / BR = CM / CP (2)

Перемноження рівнянь (1) і (2) дає:

(AB / CB) × (AB / BR) = (AE / CV) × (CM / CP)

AB2 / CB × BR = AE × CM / CV × CP

Але ми знаємо, що AB × RV = CM × MV, тому заміна та спрощення дає:

AB2 / CB × BR = AE / CV × AB × RV / CP

BR / CP = AE / AB × CB / CV = (AE / AC) × (AC / AB) × (CB / CV) = EP / AP × BV / BE

Отже, трикутник APB подібний до трикутника ECB, і ми маємо:

PB / EC = AB / BC (3)

Перемноження рівнянь (1), (2) і (3) дає:

AB2 / BC × BR / CP × PB / EC = (AE / CV) × (CM / MV) × (AB / BC)

Але ми знаємо, що AB × RV = CM × MV, тому заміна дає:

AB2 / BC × BR / CP × PB / EC = (AE / CV) × (AB / BC) × (AB × RV / CM)

Спрощення дає:

BR / CP × PB / EC = AE / CV × AB / BC × RV / CM

Ми також знаємо, що трикутник RPB подібний до трикутника EPC, тому ми маємо:

PB / EC = BR / CP

Підстановка дає:

BR2 / CP2 = AE / CV × AB / BC × RV / CM

Але ми також маємо:

AB / BC = AE / AC × sin(C) (4)

Використовуючи закон косинусів у трикутнику ABC, маємо:

BC2 = AB2 + AC2 - 2 × AB × AC × cos(C)

Підставляючи рівняння (4), отримуємо:

AB / BC = AE / AC ×