7. Розв'язати нерівність: arcsin (5-3x) < 8.Розв'язати нерівність, звівши її спочатку до однієї тригонометричної функції: 2 cos2x + 9sin x-6>0
![](https://st.uroker.com/files/458/458a93a34d755f8fce98df7d780f7e41.jpg)
Ответы
Ответ:
Почнемо з нерівності:
arcsin (5-3x) < 8
За визначенням arcsin можна записати:
-π/2 < arcsin (5-3x) < π/2
Перетворимо нерівність відносно sin:
sin(-π/2) < 5-3x < sin(π/2)
-1 < 5-3x < 1
Піднесемо нерівність до квадрата (для того, щоб позбавитися від'ємних значень):
1 < (5-3x)² < 1
Розв'яжемо цю нерівність:
1 < (5-3x)² < 1
0 < 5-3x < 0
5/3 > x > 5/3 -1
2/3 < x < 2/3
Відповідь: 2/3 < x < 5/3.
Розв'яжемо нерівність 2 cos²x + 9sin x - 6 > 0.
Перетворимо вираз 2 cos²x на вираз, що містить тільки sin x, за допомогою тотожності cos²x = 1 - sin²x:
2(1 - sin²x) + 9sin x - 6 > 0
Скоротимо:
2 - 2sin²x + 9sin x - 6 > 0
Перенесемо всі доданки в ліву частину:
-2sin²x + 9sin x - 4 > 0
Перепишемо вираз для sin x у вигляді:
sin x = (2t - 9) / 4
Підставимо цей вираз в нерівність:
-2((2t - 9) / 4)² + 9((2t - 9) / 4) - 4 > 0
Скоротимо:
-1/8 t² + (9/4) t - 7/2 > 0
Перемножимо все на (-8) для того, щоб позбавитися від знаменника:
t² - 18t + 28 < 0
Розв'яжемо квадратне рівняння:
t1,2 = (18 ± √(18² - 4*28)) / 2 = 9 ± 2√5
Отже, t1 = 9 + 2√5, t2 = 9 - 2√5.
Повертаємось до sin x:
sin x = (2t - 9) / 4
sin x1 = (2(9 + 2√5) - 9) / 4 = √5/2
sin x2 = (2(9 - 2√5) - 9) / 4 = 1/2
що можна підставити до формули san x =(2t-9)/4:
якщо sin x1 = √5/2, то san x1 = (2(9 + 2√5) - 9) / 4 = √5/2;
якщо sin x2 = 1/2, то san x2 = (2(9 - 2√5) - 9) / 4 = (1 - √5)/2.
Отже, розв'язок нерівності 2 cos²x + 9sin x - 6 > 0 має вигляд:
x ∈ (2kπ + arcsin((1 - √5)/2), 2kπ + arcsin(√5/2)), де k - ціле число.