Question

биссектриса при основании и основание равнобедренного треугольника равны 6 и 5 соответственно. найдите боковую сторону

Answer 1

Ответ:

20 единиц

Объяснение:

Биссектриса при основании  и основание равнобедренного треугольника равны 6 и 5 соответственно. Найдите боковую сторону.

Пусть дан Δ АВС -равнобедренный. АВ =ВС.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны

∠А = ∠В =2α.

В треугольнике проведена биссектриса АМ . Биссектриса делит угол пополам.

Тогда ∠ВАМ = ∠САМ =α.

Рассмотрим ΔАМС

Сумма углов треугольника равна 180°.

Тогда ∠АМС = 180°- (α+ 2α)= 180°-3α.

Применим теорему синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\dfrac{AC }{sin(180^{0} -3\alpha )} =\dfrac{AM }{sin2\alpha } ;\\\\\\\dfrac{5 }{sin(180^{0} -3\alpha )} =\dfrac{6 }{sin2\alpha } ;\\\\\dfrac{5 }{sin3\alpha } =\dfrac{6 }{sin2\alpha } ;\\\\5sin 2\alpha =6sin 3\alpha$

Воспользуемся формулами

$sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha ;\\sin3\alpha =3sin\alpha -4sin^{3} \alpha$

Тогда получим

$5 \cdot 2sin\alpha \cdot cos \alpha =6( 3sin\alpha -4sin^{3} \alpha );\\10sin\alpha \cdot cos\alpha =18sin\alpha -24sin^{3} \alpha |: 2;\\5sin\alpha \cdot cos\alpha -9sin\alpha +12sin^{3} \alpha =0;\\sin\alpha (5cos \alpha -9+12sin^{2} \alpha )=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю .

1) sin x =0

x= 0°  или x= 180°

Этот вариант не удовлетворяет условию

2)

$5cos \alpha -9+12 sin^{2} \alpha =0;\\5cos \alpha -9+12\cdot ( 1- cos^{2} \alpha )=0;\\5cos \alpha -9+12-12 cos ^{2} \alpha =0;\\12cos^{2} \alpha -5cos\alpha -3=0$

Пусть $cos \alpha =t$. Тогда уравнение принимает вид:

$12t^{2} -5t-3=0;\\D= (-5)^{2} -4\cdot 12 \cdot (-3) = 25+144=169=13^{2} ;\\\\t{_1}= \dfrac{5-13}{24} =-\dfrac{8}{24} =-\dfrac{1}{3} ;\\\\t{_2}= \dfrac{5+13}{24} =\dfrac{18}{24} =\dfrac{3}{4} .$

Так как угол α - острый , то косинус положительный и

$cos \alpha =\dfrac{3}{4}$

Воспользуемся формулой $cos 2\alpha =2cos^{2} \alpha -1$

и найдем косинус угла при основании равнобедренного треугольника

$cos 2\alpha =2\cdot \left( \dfrac{3}{4} \right)^{2} -1=2\cdot \dfrac{9}{16} -1=\dfrac{9}{8} -\dfrac{8}{8} =\dfrac{1}{8}$

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна х, то есть АВ =ВС=х.

Тогда применим теорему косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$AB^{2} =AC^{2} +BC^{2} -2\cdot AC \cdot BC \cdot cos2\alpha ;\\x^{2} =5^{2} +x^{2} -2\cdot 5 \cdot x \cdot \dfrac{1}{8} ;\\\\\dfrac{5}{4}\cdot x=25|:5;\\\\\dfrac{1}{4}\cdot x=5;\\\\x=20$

Значит, боковая сторона равна 20 единиц.

#SPJ1