Question

1.Скільки точок екстремуму має функція f(x) = 1/3x ^ 3 - 2x ^ 2 + 3x - 2
2. При яких значеннях а функція y = 1/3x ^ 3 - ax ^ 2 + 9x - 4 критичну точку? має тільки одну.

Answer 1

Ответ:

1. функция имеет две точки экстремума.

2. При а = ±3 функция имеет только одну критическую точку.

Объяснение:

1. Сколько точек экстремума имеет функция f(x) = 1/3x³ - 2x² + 3x - 2.

2. При каких значениях а функция y = 1/3x³ - ax² + 9x - 4 имеет только одну критическую точку?

1. f(x) = 1/3x³ - 2x² + 3x - 2

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

f'(x) = 1/3 · 3x² - 2 · 2x + 3 = x² - 4x + 3

x² - 4x + 3 = 0

По теореме Виета

х₁ + х₂ = 4;     х₁ х₂ = 3

⇒ х₁ = 1;   х₂ = 3

$+++[1]---[3]+++$

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

f max = f(1) = 1/3 · 1 - 2 · 1 + 3 · 1 - 2 = 1/3 - 1 = -2/3

f min = f(3) = 1/3 · 27 - 2 · 9 + 3 · 3 - 2 = -2

⇒ функция имеет две точки экстремума.

2. y = 1/3x³ - ax² + 9x - 4

Найдем производную.

y' = 1/3 · 3x² - a · 2x + 9 = x² - 2ax + 9

• Функция имеет экстремум в точках, в которых производная равна нулю.

х² - 2ах + 9 = 0

D = 4a² - 4 · 9 = 4a² - 36

• Квадратное уравнение имеет один корень, если дискриминант равен нулю.

4 (а² - 9) = 0

4(а - 3)(а + 3) = 0

а₁ = 3;   а₂ = -3

При а = ±3 функция имеет только одну критическую точку.

#SPJ1