У правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює альфа,а відрізок,що сполучає середину висоти з серединою апофеми,дорівнює а.Знайдіть об'єм піраміди.
Ответы
Ответ:Нехай ABCD - правильна чотирикутна піраміда, у якій ABCD - квадрат, M - середина висоти, O - середина апофеми, і α - двограний кут при основі ABCD.
За властивостями правильних пірамід, середина висоти і середина апофеми знаходяться на одній прямій, причому MO = ½AO.
Позначимо довжину ребра квадрата ABCD через a. Оскільки ABCD - правильний квадрат, то всі сторони рівні a.
Також знаємо, що двограний кут при основі ABCD дорівнює α. Оскільки ABCD - квадрат, то кут ABD дорівнює 45°. Отже, кут DBM дорівнює 45° - α/2.
Тепер можна знайти довжину висоти піраміди. У трикутнику DBM за теоремою синусів:
sin(45° - α/2) / BM = sin α/2 / DM
BM = a/2 (оскільки M - середина сторони), DM = h (довжина висоти).
Отже,
sin(45° - α/2) / (a/2) = sin α/2 / h
H = (a/2) * sin α/2 / sin(45° - α/2)
Також можна знайти довжину апофеми. У трикутнику BMO за теоремою синусів:
sin α/2 / BO = sin(45° - α/2) / MO
BO = a/2 (оскільки O - середина сторони), MO = ½AO = ¼a / tan(α/4).
Отже,
sin α/2 / (a/2) = sin(45° - α/2) / (¼a / tan(α/4))
tan(α/4) = 2 sin α/2 / cos(45° - α/2)
AO = 2BO = 2a tan(α/4) = 4a sin α/2 / cos(45° - α/2)
Тепер можна обчислити об'єм піраміди за формулою:
V = (1/3) * S_base * h
де S_base - площа основи (квадрата ABCD), h - висота піраміди.
Площа квадрата ABCD дорівнює a^2. Висоту піраміди ми вже знайшли. Отже,
V = (1/3) * a^2 * (a/2) * sin α/2 / sin(
Объяснение:Надеюсь помог