Question

Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения:
(8n + 1)2

- (2n - 5)2

ділиться націло на 12.

Answer 1

Ответ: ответ ниже

Пошаговое объяснение:

Для доведення цього твердження використаємо метод математичної індукції.

База індукції: перевіримо, що при n = 1 вираз (8n + 1)2 - (2n - 5)2 ділиться націло на 12:

(81 + 1)2 - (21 - 5)2 = 81

81 ділиться націло на 12, оскільки 81 = 6 * 12 + 9. Тож база індукції доведена.

Крок індукції: припустимо, що для довільного n = k вираз (8n + 1)2 - (2n - 5)2 ділиться націло на 12:

(8k + 1)2 - (2k - 5)2 = (64k2 + 16k + 1) - (4k2 - 20k + 25) = 60k2 + 36k - 24

За умовою завдання, потрібно довести, що для n = k + 1 вираз також ділиться націло на 12:

(8(k+1) + 1)2 - (2(k+1) - 5)2 = (64k2 + 144k + 81) - (4k2 + 12k + 9) = 60k2 + 132k + 72

Розглянемо різницю двох виразів:

(60k2 + 132k + 72) - (60k2 + 36k - 24) = 96k + 96

96(k + 1)

Оскільки k + 1 є натуральним числом, то вираз 96(k + 1) ділиться націло на 12.

Отже, за принципом математичної індукції, твердження доведено. Для будь-якого натурального n значення виразу (8n + 1)2 - (2n - 5)2 ділиться націло на 12.