Question

627. На малюнку 381 точка I - центр кола, вписаного у різно- сторонній трикутник ABC; M, K i L - точки дотику. Знайдіть усі пари рівних трикутників на цьому малюнку.​

Answer 1

Рассмотрим угол BAC. Окружность вписана в угол, касается его сторон. Точка касания K удалена от центра I на радиус - и это кратчайшее расстояние от точки до прямой, а значит - перпендикуляр. Понимаем: радиус в точку касания перпендикулярен касательной, IK⊥AB.

Прямоугольные треугольники KAI и MAI равны по катету (IK=IM) и общей гипотенузе.

Отсюда следует, что

- центр вписанной окружности лежит на биссектрисе (∠KAI=∠MAI)

- отрезки касательных из одной точки равны (AK=AM)

Поскольку окружность вписана в три угла, ее центр лежит на пересечении трех биссектрис.

Понятно, что пары треугольников при каждой вершине:

∠MAI=∠KAI, ∠KBI=∠LBI, ∠LCI=∠MCI