Ответы
1. Используя формулу тригонометрии, преобразуем знаменатель cos 5x в более простое выражение:
cos 5x = cos^2(2,5x) - sin^2(2,5x)
2. Заменим tg * 5x на u, тогда получим:
integrate (u^(1/3))/(cos^2(2,5x) - sin^2(2,5x)) dx
3. Применим замену переменной:
u = tan^3(v), du = 3tan^2(v)sec^2(v)dv
4. Подставим новые переменные в интеграл:
integrate ((tan^3(v))^(1/3))/(cos^2(2,5x) - sin^2(2,5x)) * (1/3tan^2(v)sec^2(v)) dv
integrate tan(v)/3(cos^2(v) - sin^2(v)) dv
5. Используя формулы тригонометрии, преобразуем знаменатель в более простое выражение:
cos^2(v) - sin^2(v) = cos(2v)
6. Подставим новые переменные в интеграл:
integrate tan(v)/3cos(2v) dv
7. Применим интегрирование по частям:
u = tan(v), du = sec^2(v)dv
dv = cos(2v)/3, v = (1/6)sin(4v)
integrate udv = uv - integrate vdu
= (1/6)tan(v)sin(4v) - (1/6)integrate sin(4v)/cos^2(v) dv
8. Используя формулу тригонометрии, преобразуем числитель в более простое выражение:
sin(4v) = 2sin(2v)cos(2v)
9. Подставим новые переменные в интеграл:
= (1/6)tan(v)sin(4v) - (1/3)integrate sin(2v)/cos(v) dv
10. Используя замену переменной u = cos(v), du = -sin(v)dv, получаем:
= -(1/3)integrate du/u = -(1/3)ln|u| + C
= -(1/3)ln|cos(v)| + C
11. Подставляем обратные замены переменных и получаем окончательный ответ:
integrate (root(tg * 5x, 3))/(cos 5x) dx = -(1/3)ln|cos(arctan^(1/3)(tg * 5x))| + C