Ответы
Відповідь:
Для того щоб знайти розв'язок диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами:
y'' + 10y' + 21y = 24x^2 - 4x + 16
Спочатку ми знаходимо характеристичне рівняння, яке відповідає однорідній частині рівняння:
r^2 + 10r + 21 = 0
Можна помітити, що це квадратне рівняння має два корені -3 та -7. Тому загальний розв'язок однорідної частини має вигляд:
y_h = c_1 e^{-3x} + c_2 e^{-7x},
де c_1 та c_2 - довільні константи.
Тепер ми шукаємо частинний розв'язок неоднорідної частини. Поскільки права частина є поліномом другого степеня, спробуємо знайти частинний розв'язок вигляду:
y_p = Ax^2 + Bx + C
y_p' = 2Ax + B
y_p'' = 2A
Підставляємо ці вирази у початкове рівняння:
2A + 10(2Ax + B) + 21(Ax^2 + Bx + C) = 24x^2 - 4x + 16
21Ax^2 + (20A + 21B)x + (2A + 10B + 21C) = 24x^2 - 4x + 16
Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях x, отримуємо таку систему рівнянь:
21A = 24
20A + 21B = -4
2A + 10B + 21C = 16
Розв'язуємо цю систему рівнянь та знаходимо коефіцієнти:
A = 8/7, B = -92/147, C = 361/686
Тому частинний розв'язок має вигляд:
y_p = (8/7)x^2 - (92/147)x + 361/686
Загальний розв'язок диференціального рівняння має вигляд:
y = y_h + y_p = c_1 e^{-3x} + c_2 e^{-7x} + (8/7)x^2 - (92/147)x + 361/686
де c_1 та c_2 - довільні константи.