у прямокутному трикутнику гострий кут дорівнює 60°, проекція катета, прилеглого до даного кута на гіпотенузу - 6см. Знайдіть гіпотенузу даного трикутника.
(Малюнок трикутника)
Ответы
Ответ:
Нехай прямокутний трикутник має гострий кут A, де A = 60°, та катет BC, прилеглий до цього кута, який проектується на гіпотенузу AB довжиною 6 см.
Застосуємо теорему Піфагора для знаходження гіпотенузи трикутника AB:
AB² = AC² + BC²
Оскільки трикутник ABC є прямокутним, то за теоремою Піфагора:
BC² + AC² = AB²
Також з умови задачі відомо, що AC = AB * cos A, де A = 60°. Отже:
AC = AB * cos 60° = AB * 1/2
Підставляємо вираз для AC у рівняння для гіпотенузи:
BC² + (AB/2)² = AB²
Розкриваємо дужки та складаємо подібні доданки:
BC² + AB²/4 = AB²
Переносимо BC² на один бік рівняння:
AB² - BC² = 4/4 * AB²
AB² - BC² = 3/4 * AB²
Ділимо обидва боки на 3 та множимо на 4:
4/3 * (AB² - BC²) = AB²
AB² = 4/3 * BC²
Знаходимо значення гіпотенузи:
AB = √(4/3 * BC²) = (2/√3) * BC
Підставляємо дані з умови задачі:
AB = (2/√3) * 6 см ≈ 6.93 см
Отже, гіпотенуза трикутника дорівнює близько 6.93 см.