Ответы
Пусть точка E делит ребро DC на две отрезка в отношении DE:EC = 1:2.
Тогда, согласно свойствам правильного тетраэдра, точки A, E и B лежат на одной прямой, проходящей через центр тетраэдра O.
Далее, заметим, что угол между прямой AE и гранью ACD равен 90 градусов, так как это угол между прямой и плоскостью, проходящей через две её точки (точки A и D). Также заметим, что угол между гранью ACD и гранью ABC равен β (так как он является двугранным углом при ребре DC).
Из этого следует, что угол между прямой AE и гранью ABC равен 90 - β градусов.Так как тетраэдр правильный, то все его грани равны равносторонним треугольникам, поэтому угол между прямой AE и гранью ABC равен углу между отрезками AE и AB, то есть углу между смежными боковыми рёбрами тетраэдра.
Далее, обозначим через x длину боковой ребра тетраэдра. Тогда, так как треугольник ABE является равносторонним, мы можем выразить длину отрезка AB через x:
AB = x√2.
Также заметим, что треугольник ADE является прямоугольным, поэтому мы можем выразить длину отрезка AE через x и длину отрезка DE:
AE = √(AD² + DE²) = √(3x²/4 + x²/4) = x√2/2.
Таким образом, мы получаем, что угол между прямой AE и гранью ABC равен углу BAE, который можно вычислить с помощью формулы для косинуса угла:
cos(BAE) = AB/AE = (x√2)/(x√2/2) = 2.
Отсюда следует, что cos(β) = 2/3 (так как β является дополнительным к углу BAE).
Тогда 12cos(β) = 12*2/3 = 8.
Ответ: 8.