Question

Бісектриса кута при основі рівнобедренного трикутника ділять висоту що проведена до основи на відрізки довжиною 20см і 16см знайти периметр трикутника

Answer 1

Нехай ABC - рівнобедрений трикутник, в якому AB = AC. Нехай BD - бісектриса кута B при основі AC. Нехай H - висота трикутника, проведена з вершини B до основи AC.

За теоремою про бісектрису в куті, ми знаємо, що BD ділить кут ABC на два рівні кути, тобто кути ABD та CBD мають однакову міру. Оскільки трикутник ABC - рівнобедрений, то ми знаємо, що відрізок BH є висотою трикутника, проведеною з вершини B до основи AC.

Нехай точки E та F - точки перетину висоти BH з відрізками BD та CD відповідно, такі, що BE = 20 см та CF = 16 см. Оскільки відрізки BE та CF є ділянками висоти BH, то ми знаємо, що BE = BH - HE та CF = CH - HF.

Застосуємо теорему Піфагора до трикутників BHE та CHF:

(
B
H
−
H
E
)
2
+
(
B
D
)
2
=
(
A
B
)
2
та
(
C
H
−
H
F
)
2
+
(
C
D
)
2
=
(
A
C
)
2
(BH−HE)
2
+(BD)
2
=(AB)
2
та(CH−HF)
2
+(CD)
2
=(AC)
2


Оскільки AB = AC (трикутник ABC - рівнобедрений), то ми можемо записати:

(
B
H
−
H
E
)
2
+
(
B
D
)
2
=
(
C
H
−
H
F
)
2
+
(
C
D
)
2
(BH−HE)
2
+(BD)
2
=(CH−HF)
2
+(CD)
2


Розв'язавши відносно BD, отримаємо:

B
D
=
(
C
H
−
H
F
)
2
+
(
C
D
)
2
−
(
B
H
−
H
E
)
2
2
(
B
H
)
BD=
2(BH)
(CH−HF)
2
+(CD)
2
−(BH−HE)
2

​


Підставимо значення BE та CF:

B
D
=
(
C
H
−
H
F
)
2
+
(
A
C
−
C
F
)
2
−
(
B
H
−
B
E
)
2
2
(
B
H
)
BD=
2(BH)
(CH−HF)
2
+(AC−CF)
2
−(BH−BE)
2

​


За теоремою про висоту в прямокутному трикутнику, ми знаємо, що BH^2 = BD*CD. Оскільки трикутник ABC - рівнобедрений, то ми можемо записати AB = AC = BC, тобто CD = (BC - AC)/2 = AB/2. Підставляємо це значення у вираз для BH^2:

B
H
2
=
B
D
∗
A
B
2
⇒
B
H
=
2
B
D
A
B
A
B
=
2
B
D
BH
2
=BD∗
2
AB
​
⇒BH=
AB
2BDAB
​

​
=
2BD