Question

dx/(sin^2 (2 x)*cos^2 (2x))

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \bf \int\limits {\frac{dx}{sin^2(2x)\;cos^2(2x)} }=\frac{1}{2}tg(2x)-\frac{1}{2}ctg(2x)+C$

Пошаговое объяснение:

Вычислить неопределенный интеграл:

$\displaystyle \bf \int\limits {\frac{dx}{sin^2(2x)\;cos^2(2x)} }$

Преобразуем подинтегральное выражение.

• Основное тригонометрическое тождество:

          sin²α + cos²α = 1

$\displaystyle \bf \int\limits {\frac{sin^2(2x)+cos^2(2x)}{sin^2(2x)\;cos^2(2x)} } \, dx =\\\\=\int\limits {\frac{sin^2(2x)}{sin^2(2x)\;cos^2(2x)} } \, dx+\int\limits {\frac{cos^2(2x)}{sin^2(2x)\;cos^2(2x)} } \, dx=\\\\=\int\limits {\frac{dx}{cos^2(2x)} } +\int\limits {\frac{dx}{sin^2(2x)} } =\\\\=\frac{1}{2} \int\limits {\frac{d(2x)}{cos^2(2x)} } +\frac{1}{2} \int\limits {\frac{d(2x)}{sin^2(2x)} } =$

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Получили табличные интегралы:

$\boxed {\displaystyle \bf \int\limits {\frac{dx}{sin^2x} } =-ctg\;x+C }\\\\\boxed {\displaystyle \bf \int\limits {\frac{dx}{cos^2x} } =tg\;x+C }$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle \bf =\frac{1}{2}tg(2x)-\frac{1}{2}ctg(2x)+C$