Question

Знайдіть об'єм конуса, описаного навколо правильної чотирикутної піраміди зі стороною 4см, якщо всі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом 30°
С рисунком

Answer 1

Ответ:

Об'єм конуса дорівнює $\dfrac{16 \sqrt{6} }{9} \pi$  см³

Объяснение:

Знайдіть об'єм конуса, описаного навколо правильної чотирикутної піраміди зі стороною 4см, якщо всі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом 30°

• Конус описаний навколо піраміди, якщо основа конуса описана навколо основи піраміди, а висота конуса дорівнює висоті піраміди.

Маємо правильну чотирикутну піраміду SABCD, у якої кут  нахилу бічного ребра до площини основи дорівнює 30°.

В основі піраміди лежить правильний чотирикутник (тобто квадрат) ABCD зі стороною 4см, який вписаний в основу конуса. Тому центр цього круга, точка O, знаходиться на перетині діагоналей AC і BD квадрата ABCD. Тому R=AO – радіус описаного навколо квадрата кола, радіус основи конуса, а кут ∠SAO=30° – кут нахилу бічного ребра до площини основи.

1. Знайдемо радіус описанного навколо квадрата кола:

$\sf R=AO=\dfrac{a\sqrt{2} }{2} =\dfrac{4\sqrt{2} }{2}=2\sqrt{2}$  (см)

2. Розглянемо прямокутний трикутник ΔSAO(∠SOA=90°), в якому SO - катет протилежний ∠SAO=30°, АO - катет прилеглий до ∠SAO.

За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо протилежний катет SO=H – висоту конуса:

$\sf tg \angle SAO=\dfrac{SO}{AO}$

$\sf H=SO=AO\cdot tg 30^\circ=2\sqrt{2} \cdot\dfrac{\sqrt{3} }{3} =\dfrac{2\sqrt{6} }{3}$  (см)

3. Обчислимо об’єм заданого конуса:

$V=\dfrac{1}{3} \pi R^{2} H=\dfrac{1}{3} \pi \cdot (2\sqrt{2} )^{2} \cdot\dfrac{2\sqrt{6} }{3} =\bf \dfrac{16\sqrt{6} }{9} \pi$  (cм)³

Відповідь: $\dfrac{16 \sqrt{6} }{9} \pi$  см³

#SPJ1