У кулю вписано конус, площа бічної поверхні якого дорівнює
см
, а твірна нахилена до площини основи під кутом 30°. Знайдіть об’єм цієї кулі.
Ответы
Ответ:
Объем шара равен 256π/3 см³
Объяснение:
В шар вписан конус, площадь боковой поверхности которого равна 8π√3 см², а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите объем этого шара.
Дано: Шар.О;
Конус вписан в шар.
Sбок. = 8π√3 см²;
Найти: Vшара.
Решение:
- Осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник.
ВЕ - высота.
Рассмотрим ΔЕВС - прямоугольный.
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
∠ЕСВ = 30° ⇒ ∠ЕВС = 90° - 30° = 60°
- Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Пусть ВЕ = х см, тогда ВС = 2х см
По теореме Пифагора:
ЕС² = ВС² - ВЕ² = 4х² - х² = 3х² ⇒ ЕС = х√3 см
- Площадь боковой поверхности конуса равна:
Sбок. = πRl ,
где R - радиус основания конуса, l - образующая.
У нас R = EC = х√3 см; l = BC = 2x см; Sбок. = 8π√3 см
Подставим эти данные в формулу:
8π√3 = π · х√3 ·2х
8π√3 = 2х²π√3
х² = 4
х = 2
⇒ ВС = 4 см.
Рассмотрим ΔОВС
ОВ = ОС = R шара
⇒ ΔОВС - равнобедренный
∠ЕВС = 60°
- Если в равнобедренном треугольнике есть угол 60°, то он равносторонний.
⇒ ВС = ОВ = ОС = 4 см.
Радиус шара равен 4 см, можем найти объем.
V шара = 4/3 πR³
⇒ V шара = 4/3 π · 4³ = 256π/3 (см³)
#SPJ1
![](https://st.uroker.com/files/5c0/5c0bd78b744d28eb44d5dfd34ef8c50e.png)