Question

Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гіпотенузою 8
см і гострим кутом 30
. У призму вписана куля. Знайдіть радіус цієї кулі.

Answer 1

Позначимо катети прямокутного трикутника, який є основою призми, через a і b. Оскільки гіпотенуза цього трикутника дорівнює 8 см, то за теоремою Піфагора маємо:

a^2 + b^2 = 8^2 = 64

Оскільки гострий кут цього трикутника дорівнює 30 градусам, то за відповідністю трикутників маємо:

b/a = tan(30°) = 1/√3

або

a/b = √3

Ми можемо використати останнє співвідношення, щоб виразити одну зі сторін трикутника через іншу:

a = b√3

Підставляючи це у вираз для суми квадратів катетів, отримуємо:

(b√3)^2 + b^2 = 64

3b^2 + b^2 = 64

4b^2 = 64

b^2 = 16

b = 4

Таким чином, сторона основи прямої призми дорівнює 4 см. Радіус вписаної кулі можна знайти за формулою:

r = (a + b + c)/6

де c - висота призми. Оскільки призма є пряма, то висота співпадає зі стороною прямокутного трикутника, яка не дорівнює гіпотенузі, тобто вона дорівнює a. Таким чином:

r = (a + b + a)/6 = (2a + b)/6 = (2b√3 + b)/6 = b(2√3 + 1)/6

Підставляючи значення b, отримуємо:

r = 4(2√3 + 1)/6 = (8√3 + 4)/6 = (4√3 + 2)/3

Отже, радіус вписаної кулі дорівнює (4√3 + 2)/3 см.