Question

Решить методом бернулли используя подстановку y=uv:
1. y'=y+1
2. y'-2y-3=0

Answer 1

1.

$y'=y+1$

$y'-y=1$

Решение ищем в виде произведения двух ненулевых функций: $y=uv$.

Тогда: $y'=u'v+uv'$.

Подставляем:

$u'v+uv'-uv=1$

Предположим, что сумма первого и третьего слагаемого в левой части равна 0:

$u'v-uv=0$

$u'-u=0$

$u'=u$

$\dfrac{du}{dx} =u$

$\dfrac{du}{u} =dx$

$\int \dfrac{du}{u} =\int dx$

$\ln u=x$

$u=e^x$

Тогда, второе слагаемое из левой части должно быть равно правой части:

$uv'=1$

$e^x\cdot \dfrac{dv}{dx} =1$

$dv =e^{-x}dx$

$\int dv =\int e^{-x}dx$

$v =-e^{-x}+C$

Искомое решение:

$y=uv=e^x(-e^{-x}+C)$

$y=-1+Ce^x$

2.

$y'-2y-3=0$

$y'-2y=3$

Решение ищем в виде произведения двух ненулевых функций: $y=uv$.

Тогда: $y'=u'v+uv'$.

Подставляем:

$u'v+uv'-2uv=3$

Предположим, что сумма первого и третьего слагаемого в левой части равна 0:

$u'v-2uv=0$

$u'-2u=0$

$\dfrac{du}{dx} =2u$

$\dfrac{du}{u} =2dx$

$\int\dfrac{du}{u} =\int 2dx$

$\ln u = 2x$

$u = e^{2x}$

Тогда, второе слагаемое из левой части должно быть равно правой части:

$uv'=3$

$e^{2x}\cdot \dfrac{dv}{dx}=3$

$dv=3e^{-2x}dx$

$\int dv=\int 3e^{-2x}dx$

$v=3\cdot\left(\dfrac{1}{-2} e^{-2x}\right)+C$

$v=-\dfrac{3}{2} e^{-2x}+C$

Искомое решение:

$y=uv= e^{2x}\left(-\dfrac{3}{2} e^{-2x}+C\right)$

$y=-\dfrac{3}{2} +Ce^{2x}$