Question

Решите 1 из задач, пожалуйста как можно яснее объясните решение

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Задание номер 2:

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^n+5^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{5\sqrt[n]{2^n+5^n}}{5}=5\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\left(\dfrac{2}{5}\right)^n\right)^{1/n}=\\=5\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\cdot\left(\dfrac{2}{5}\right)^n\right)=5$

Что мы сделали:

1) Формально домножили и поделили на 5.

2) 5 в знаменателе внесли под корень и выполнили почленное деление.

3) Поскольку $\left(\dfrac{2}{5}\right)^n\to0\;(n\to\infty)$, то можно применить факт, что $(1+x)^m \sim 1+mx,\;(x\to0)$.

4) Предел $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1}{n}\cdot\left(\dfrac{2}{5}\right)^n$ очевидно равен 0.

Задание номер 3:

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^{10}+2^{10}+...+n^{10}}$

Заметим, что выражение внутри предела можно ограничить:

$\sqrt[n]{n}\le\sqrt[n]{1^{10}+2^{10}+...+n^{10}}\le\sqrt[n]{n\cdot n^{10}}$

Иными словами:

$n^{1/n}\le\sqrt[n]{1^{10}+2^{10}+...+n^{10}}\le n^{11/n}$

Поскольку при $n\to\infty$ имеем $\lim\limits_{n\to\infty}n^{1/n}=\lim\limits_{n\to\infty}n^{11/n}=1$, то по теореме о двух милиционерах исходный предел равен 1.

Задание номер 4:

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{n!}=\lim\limits_{n\to\infty}e^{\dfrac{\ln(n!)}{n^2}}=1$

$\ln(n!)$ при больших $n$ будет принимать сильно меньшие значения, чем $n^2$, откуда следует вывод о значении предела.

Это предел можно также взять, вспомнив, что $n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$.

Тогда будет:

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{n!}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(2\pi\right)^{1/2n^2}\cdot n^{1/2n^2}\cdot\dfrac{n^{1/n}}{e^{1/n}}=1$

Здесь $\lim\limits_{n\to\infty}n^{1/2n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}e^{\ln (n)/2n^2}=1$

Задание выполнено!