Question

Решите неравенство: 2x²-|x|-1 ≥0​

Answer 1

Ответ:

Разбиваем неравенство на два случая:

1. x ≥ 0

Тогда |x| = x, и неравенство принимает вид:

2x² - x - 1 ≥ 0

Решаем квадратное уравнение:

D = 1 + 8 = 9

x1 = (1 + √9) / 4 = 1

x2 = (1 - √9) / 4 = -1/2

Теперь строим таблицу знаков:

x       |  -∞  | -1/2 |   1  |  +∞

2x²-x-1 |  -    |   -  |   +  |  +

Значит, при x ≤ -1/2 или x ≥ 1 неравенство выполняется.

2. x < 0

Тогда |x| = -x, и неравенство принимает вид:

2x² + x - 1 ≥ 0

Решаем квадратное уравнение:

D = 1 + 8 = 9

x1 = (-1 + √9) / 4 = 1/2

x2 = (-1 - √9) / 4 = -1

Строим таблицу знаков:

x       |  -∞  |   -1 | 1/2  |  +∞

2x²+x-1 |  -    |   -  |   +  |  -

Значит, при -1 ≤ x ≤ 1/2 неравенство выполняется.

Итого, корни квадратного уравнения -1/2, 1/2 и 1. Неравенство выполняется на интервалах (-∞, -1/2], [-1, 1/2] и [1, +∞). В конечном ответе это можно записать так:

x ≤ -1/2  или  x ∈ [-1, 1/2]  или  x ≥ 1.