Question

У кулю вписано конус, площа бічної поверхні якого дорівнює 8π√3 см², а твірна нахилена до площини основи під кутом 30°. Знайдіть об’єм цієї кулі.

Answer 1

Ответ:

Объем сферы равен $V = \dfrac{256}{3}\pi$ (см)³

Объяснение:

Дано :

Sбок.конуса =  8π√3 см²

Rсф = ?  ,  Sсф = ?

Пусть осевым сечением  данного конуса будет  равнобедренный  ΔABC с высотой  h = BD ,  соответственно  сторона  BC  будет являться  образующей данного  конуса.  

Рассмотрим  прямоугольный ΔBDC

∠CBO + ∠DCB = 90° ⇒ ∠CBO = 90° - ∠DCB = 90° - 30° = 60°

А поскольку BO = OC как радиусы сферы  и  ∠CBO = 60° ⇒ ΔBCO равносторонний  ⇒ OB = BC = CO  из этого мы можем понять , что образующая конуса равна радиусу окружности

Высота (h) конуса лежит против угла в 30° , а катет лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы , то наклонная BC = 2h

Найдем радиус конуса (DC) , по теореме Пифагора

BD² + DC² = BC²

h² + DC² = (2h)²

DC = h√3

По условию нам известно , что Sбок.конуса =  8π√3 см²

Вспомним :
Sбок.пов = πrl - площадь  боковой поверхности прямого конуса , где r - радиус основания ,  l - образующая

Подставим  r = h√3 ,  l = 2h

π·h√3·2h =  8π√3

h²  = 4

h = 2 см  ⇒ BC =2h = 4 см  

Т.к образующая равна радиусу сферы , то  R = BC = 4 см

Находим объем сферы по формуле

$V = \dfrac{4}{3} \pi R^3$

$V = \dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot 4^3 = \dfrac{256}{3}\pi$  (см)³

#SPJ1