Question

Допоможіть будь ласка! 100балів
(писати в зошиті)

Answer 1

Ответ:

$\bf 1)\ \ log_2(x^2+3x)\leq 2\ \ ,\ \ \ ODZ:\ \ x^2+3x > 0\ \ \Rightarrow \\\\x(x+3) > 0\ \ ,\ \ znaki:\ \ +++(-3)---(0)+++\\\\x\in (-\infty ;-3\ )\cupc(\ 0\ ;+\infty \, )\\\\log_2(x^2+3x)\leq log_24$  

Основание логарифма равно  2>1 , поэтому функция возрастающая , тогда получим  

$\bf x^2+3x\leq 4\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2+3x-4\leq 0\ \ ,\ \ (x+4)(x-1)\leq 0\\\\znaki:\ \ +++[-4\, ]---[\ 1\ ]+++\ \ \ x\in [\, -4\ ; \ 1\ ]$    

C учётом ОДЗ получим ответ :   $\bf x\in [-4\ ;-3\ )\cup (\ 0\ ;\ 1\ ]$   .

$\bf 2)\ \ log_{\frac{1}{3}}(x-1)\geq -2\ \ ,\ \ \ \ ODZ:\ x-1 > 0\ \ ,\ \ x > 1\\\\log_{\frac{1}{3}}(x-1)\geq log_{\frac{1}{3}}9$  

Основание логарифма равно  (1/3)<1 , поэтому функция убывающая , тогда получим  

$\bf x-1\leq 9\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\leq 10$  

C учётом ОДЗ получим ответ :   $\bf x\in (\ 1\ ;\ 10\ ]$  .

$\bf 3)\ \ ln(x+3)\geq ln(3x-2)\ \ ,\ \ \ \ ODZ:\ x > \dfrac{2}{3}$  

Основание логарифма равно  e>1 , поэтому функция возрастающая , тогда получим  

$\bf x+3\geq 3x-2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 2x\leq 5\ \ ,\ \ x\leq 2\dfrac{1}{2}$  

C учётом ОДЗ получим ответ :   $\bf x\in \Big(\ \dfrac{2}{3}\ ;\ 2\dfrac{1}{2}\ \Big]$   .

$\bf 4)\ \ log_{0,4}\, x(x-1)\geq log_{0,4}\, (x+3)\ \ ,\ \ \ ODZ:\ x > 1$

Основание логарифма равно  0,4<1 , поэтому функция убывающая , тогда получим  

$\bf x(x-1)\leq x+3\ \ \Rightarrow \ \ \ x^2-2x-3\leq 0\ \ ,\ \ (x-3)(x+1)\leq 0\\\\znaki:\ \ +++[-1\ ]---[\ 3\ ]+++\ \ ,\ \ \ x\in [-1\ ;\ 3\ ]$

C учётом ОДЗ получим ответ :   $\bf x\in (\ 1\ ;\ 3\ ]$  .