Question

Решить дифференционое уравнение первого порядка y'*sin^2x-ylny=0

Answer 1

Ответ:

Общий интеграл дифференциального уравнения:

$\boldsymbol{\boxed{C = \ln|\ln y|+\text{ctg} \ x}}$

Пошаговое объяснение:

$y' \sin^{2} x - y \ln y = 0$

$y' \sin^{2} x = y \ln y$

$\sin^{2} x \ \dfrac{dy}{dx} = y \ln y$

$\dfrac{dy}{y \ln y} = \dfrac{dx}{\sin^{2} x}$

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

$y \ln y = 0 \Longrightarrow y = 0;y' = (0)' = 0$, но так как натуральный логарифм не определен в точке 0, то $y = 0$ - не является решением дифференциального уравнения

$\sin^{2} x = 0 \Longrightarrow x = \pi n , n \in \mathbb Z$ - не является решением дифференциального уравнения

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle \int \dfrac{dy}{y \ln y} = \int \dfrac{dx}{\sin^{2} x}$

$\displaystyle \int \dfrac{d(\ln y)}{ \ln y} = \int \dfrac{dx}{\sin^{2} x}$

$\ln|\ln y| = -\text{ctg} \ x + C$

$\boxed{C = \ln|\ln y|+\text{ctg} \ x}$ - общий интеграл дифференциального уравнения