Треуг. КМН равносторонний. На сторонах КМ и КН отмечены точки П и Так, что КП:ПМ=НР:РК=2:3.отрезки МР и НП пересекаются в точке С. Док, что Угол НСР=60°,и треуг. КПН подобен треуг. СРН.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Позначимо сторону рівностороннього трикутника КМН як a.
Оскільки КП:ПМ=2:3, то МП складається з 2 частин, а ПК складається з 3 частин.
Отже, КМ:МР=5:2 і МР:КР=3:2, що означає, що КМ:КР=5:4.
Також зі схожості трикутників КПН і СРН можна записати наступне:
КП:ПН=КС:СР
Оскільки КП:ПМ=2:3, то КП складається з 2 частин, а ПН складається з 5 частин.
Отже, КП:ПН=2:5.
КМ:КР=5:4, тому ПМ:НР=5:4.
Позначимо довжину відрізка НР як х.
Тоді відрізок ПМ має довжину 5/4 х, а відрізок КП має довжину 2/7 a.
З теореми Піфагора для трикутника СМР:
СМ^2 = СР^2 + МР^2
Оскільки трикутник КМН є рівностороннім, то КС = НС = 1/2 a.
Отже, СМ^2 = (1/2 a)^2 + (5/4 х)^2
З теореми Піфагора для трикутника СПН:
СП^2 = СР^2 + ПН^2
Оскільки КП:ПН=2:5, то КП = 2/7 a, а ПН = 5/7 a.
Отже, СП^2 = (2/7 a)^2 + (5/7 a)^2 = 4/49 a^2 + 25/49 a^2 = 29/49 a^2
З теореми Піфагора для трикутника СКП:
СК^2 = СР^2 + ПК^2
Оскільки КП:ПМ=2:3, то КП = 2/7 a, а ПК = 5/7 a.
Отже, СК^2 = (1/2 a)^2 + (5/7 a)^2 = 1/4 a^2 + 25/49 a^2 = 29/98 a^2
Так як трикутник КМН є рівностороннім, то усі його кути дорівнюють 60 градусам.
Отже, також маємо, що кут НСР дорівнює 60 градусам.
Також з рівності ПК