Question

Помогите пожалуйста дам 50 балов (полная роспись задач)

Answer 1

Решение.

Найти пределы функций . Раскрытие неопределённости вида  $\bf \dfrac{0}{0}$   .

Применяем метод разложения на множители, домножение на сопряжённое выражение и замену бесконечно малых эквивалентными .

$\bf \displaystyle 1)\ \lim\limits_{x \to -1}\, \dfrac{x^3+2x^2-1}{x^2-2x-3}=\lim\limits_{x \to -1}\, \dfrac{(x+1)(x^2+x-1)}{(x-3)(x+1)}=\lim\limits_{x \to -1}\, \dfrac{x^2+x-1}{x-3}=\frac{1}{4}$

$\bf \displaystyle 2)\ \lim\limits_{x \to 7}\, \dfrac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49}=\lim\limits_{x \to 7}\, \dfrac{(2-\sqrt{x-3})(2+\sqrt{x-3})}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})}=\\\\\\=\lim\limits_{x \to 7}\, \dfrac{4-(x-3)}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})}=\lim\limits_{x \to 7}\, \dfrac{7-x}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})}=\\\\\\=\lim\limits_{x \to 7}\, \dfrac{-(x-7)}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})}=-\lim\limits_{x \to 7}\, \dfrac{1}{(x+7)(2+\sqrt{x-3})}=\\\\\\=-\frac{1}{14\cdot 4}=-\frac{1}{56}$  

$\bf \displaystyle 3)\ \lim\limits_{x \to 0}\, \dfrac{ln(1+sinx)}{sin4x}=\Big[\ ln(1+\alpha (x))\sim \alpha (x)\ ,\ \ sin\alpha (x)\sim \alpha (x)\ ,\ \alpha (x)\to 0\Big]=\\\\\\=\lim\limits_{x \to 0}\, \dfrac{sinx}{4x}=\lim\limits_{x \to 0}\, \dfrac{x}{4x}=\frac{1}{4}$