Question

6. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку (2; 3) отсекающей от координатнЫХ осей, треугольник наименьшей площади И A)y=1,5x B) y=-1,5x+6 C) y=−2,5х+8 D) y=-0,5x+4 E) y=-x+5
​

Answer 1

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку (2; 3) отсекающей от координатнЫХ осей, треугольник наименьшей площади И A)y=1,5x B) y=-1,5x+6 C) y=−2,5х+8 D) y=-0,5x+4 E) y=-x+5.

Пусть точки на осях имют координаты:

В на оси Ох: В(k; 0),

С на оси Оу: С(0; m).

Уравнение прямой будет у = (-m/k)x + m.

С учётом заданной точки А(2; 3) уравнение станет:

3 = (-m/k)*2 + m.

3k = -2m + km = m(k – 2), отсюда m = 3k/(k – 2).

Площадь равна: S = mk/2.

Заменим m = 3k/(k – 2).

Получим S =  (3k/(k – 2))*k/2 = 3k²/(2k – 4).

Исследуем функцию S = 3k²/(2k – 4) на минимум.

S’ = (3*2k*(2k – 4) - 3k²*2)/(2k – 4)² =

   =(6k² – 24k)/(2k – 4)².

Приравняем производную нулю (достаточно числитель).

6k² – 24k = 0,

k² – 4k = 0,

k(k – 4)= 0.

Отсюда получаем два значения точки на оси Ох.

k1 = 0 (это решение нельзя принять – не получится треугольник).

k2 = 4, отсюда m = 3*4/(4 – 2) = 12/2 = 6.

Получаем уравнение прямой  у = (-6/4)x + 6 или у = -1,5x + 6.