Question

Вычислить наименьшее натуральное значение n при котором
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{n^k } \ \textless \ \frac{1}{100}$

Answer 1

Ответ:

102

Объяснение:

Рассмотрим более общий ряд для $|x| < 1$:

$S=\sum\limits_{k=1}^\infty kx^k =x\cdot \sum\limits_{k=1}^\infty kx^{k-1}=x\cdot \left(1+\sum\limits_{k=2}^\infty kx^{k-1}\right)=x\cdot \left(1+\sum\limits_{k=1}^\infty (k+1)x^{k}\right)=\\ =x\cdot \left(1+\sum\limits_{k=1}^\infty kx^{k}+\sum\limits_{k=1}^\infty x^{k}\right)=(*)$

В полученном выражении первая сумма - не что иное, как исходный ряд, а вторая - сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем $x$ . Соответственно:

$(*)=x\cdot \left(1+S+\dfrac{x}{1-x}\right)$

Выразим искомую сумму:

$S=\dfrac{x+\frac{x^2}{1-x}}{1-x}=\dfrac{x}{(1-x)^2}$

Тогда, возвращаясь к условию и учитывая, что случай $n=1$ не рассматриваем (так как данный ряд, очевидно, расходится), необходимо найти наименьшее натуральное решение неравенства

$\dfrac{1/n}{(1-1/n)^2} < \dfrac{1}{100}\Leftrightarrow \dfrac{(n-1)^2-100n}{(n-1)^2} > 0\Leftrightarrow \dfrac{n^2-102n+1}{(n-1)^2} > 0\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow\dfrac{(n-51)^2-51^2+1}{(n-1)^2} > 0$

Т.к. $n > 1$, это нер-во равносильно $(n-51)^2 > 51^2-1$.

Отсюда либо

$n-51 < -\sqrt{51^2-1}\Rightarrow n < 51-\sqrt{51^2-1}=\sqrt{51^2}-\sqrt{51^2-1}=\\ =\dfrac{1}{\sqrt{51^2}+\sqrt{51^2-1}} < 1$  (этот случай не подходит), либо

$n-51 > \sqrt{51^2-1}\Rightarrow n > 51+\sqrt{51^2-1} > \\ > [51^2-50^2=(51-50)(51+50)=101 > 1] > 51+\sqrt{50^2}=101$.

При этом $n=102$ решением является:

$(102-51)^2=51^2 > 51^2-1$