Question

Рассмотрим набор из 3-элементных подмножеств множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Вычислите среднее медиан этих подмножеств

Answer 1

Медианой выборки с нечетным числом вариант называется варианта, стоящая посередине. Для выборки из трех элементов можно сказать, что медиана - это среднее по величине число.

Рассмотрим набор - трехэлементное подмножество множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Заметим, что ни в каком из этих наборов ни число 1, ни число 9 не могут быть медианой, так как числа 1 и 9 средними по величине из трех выбранных чисел быть не могут.

Для чисел от 2 до 8 проделаем следующее:

1. Предположим, что очередное число является медианой. Это будет означать, что такое число является средним по величине в наборе.

2. Определим, сколькими способами можно выбрать меньшее и большее число в набор к рассматриваемой медиане.

3. Найдем общее число наборов с выбранной медианой.

Пример: Пусть медиана в наборе равна 2. Тогда, меньшим числом в наборе может быть только число 1 (1 вариант), а большим числом в наборе может быть любое число от 3 до 9 (7 вариантов). Тогда, общее число наборов с медианой 2 равно 1·7=7.

Все расчеты покажем в таблице, где $M$ - рассматриваемая медиана, $N_{\min}(M)$ - число вариантов выбора меньшего числа, $N_{\max}(M)$ - число вариантов выбора большего числа, $N(M)=N_{\min} (M)\cdot N_{\max}(M)$ - число наборов с рассматриваемая медианой.

Поскольку в исходном множестве были натуральные числа от 1 до 9, то можно заметить, что:

$N_{\min}(M)=M-1;\ N_{\max}(M)=9-M$

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \cline{1-4} \ M & N_{\min}(M) & N_{\max}(M) & N(M)\\ \cline{5-8} \ 2&1&7&1\cdot7=7\\ \cline{5-8} \ 3&2&6&2\cdot6=12\\ \cline{5-8} \ 4&3&5&3\cdot5=15\\ \cline{5-8} \ 5&4&4&4\cdot4=16\\ \cline{5-8} \ 6&5&3&5\cdot3=15\\ \cline{5-8} \ 7&6&2&6\cdot2=12\\ \cline{5-8} \ 8&7&1&7\cdot1=7\\ \cline{5-8} \end{array}$

Находим среднюю медиану:

$\overline{M}=\dfrac{\sum\limits_{M=2}^8( M\cdot N(M))}{\sum\limits_{M=2}^8 N(M)}$

$\overline{M}=\dfrac{2\cdot7+3\cdot12+4\cdot15+5\cdot16+6\cdot15+7\cdot12+8\cdot7}{7+12+15+16+15+12+7} =\dfrac{420}{84} =5$

Ответ: 5