Question

Супер-монета при подбрасывании может упасть Орлом, Решкой или ребром вверх. Вероятность выпадения Орла равна квадрату вероятности выпадения Решки. Вероятность выпадения ребра равна корню из вероятности того, что выпадет Орёл или Решка. Найти вероятность выпадения Решки, округленную до десятых

Answer 1

Пусть вероятность выпадения решки равна $p$.

Тогда, вероятность выпадения орла равна $p^2$.

В условии вероятность выпадения ребра выражена через вероятность выпадения "орла или решки".

Вероятность того, что при очередном броске выпадет орел или решка равна сумме вероятности выпадения решки и вероятности выпадения орла, так как выпадение орла и выпадение решки - несовместные события.

Следовательно, вероятность выпадения ребра равна $\sqrt{p+p^2}$.

Выпадение решки, выпадение орла и выпадение ребра - попарно несовместные события. Так как, кроме этих возможностей ничего на монете выпасть не может, то сумма вероятностей этих трех событий равна 1:

$p+p^2+\sqrt{p+p^2} =1$

Решаем полученное уравнение.

Замена: $\sqrt{p+p^2}=x\geqslant 0$.

$x^2+x=1$

$x^2+x-1=0$

$D=1^2-4\cdot1\cdot(-1)=5$

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5} }{2}$

Заметим, что $x=\dfrac{-1-\sqrt{5} }{2} < 0$, что не соответствует условию, указанному при объявлении замены.

Таким образом:

$x=\dfrac{\sqrt{5} -1}{2}$

Обратная замена:

$\sqrt{p+p^2}=\dfrac{\sqrt{5} -1}{2}$

$p+p^2=\left(\dfrac{\sqrt{5} -1}{2}\right)^2$

$p+p^2=\dfrac{(\sqrt{5})^2-2\cdot\sqrt{5}\cdot1+1^2}{4}$

$p+p^2=\dfrac{5-2\sqrt{5}+1}{4}$

$p+p^2=\dfrac{6-2\sqrt{5}}{4}$

$p+p^2=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$

$2p^2+2p=3-\sqrt{5}$

$2p^2+2p-(3-\sqrt{5})=0$

$D_1=1^2-2\cdot\left(-\left(3-\sqrt{5} \right)\right)=1+6-2\sqrt{5} =7-2\sqrt{5}$

$p=\dfrac{-1\pm\sqrt{7-2\sqrt{5} } }{2}$

Вновь заметим, что $p=\dfrac{-1-\sqrt{7-2\sqrt{5} } }{2} < 0$, а вероятность отрицательной быть не может. Значит, это решение не имеет смысла.

Остается единственное решение:

$p=\dfrac{-1+\sqrt{7-2\sqrt{5} } }{2}$

Оценим значение этого выражение. Используем оценку для корня из 5:

$2.2 < \sqrt{5} < 2.3$

$4.4 < 2\sqrt{5} < 4.6$

$-4.6 < -2\sqrt{5} < -4.4$

$2.4 < 7-2\sqrt{5} < 2.6$

$2.25 < 7-2\sqrt{5} < 2.89$

$1.5 < \sqrt{7-2\sqrt{5}} < 1.7$

$0.5 < -1+\sqrt{7-2\sqrt{5}} < 0.7$

$0.25 < \dfrac{-1+\sqrt{7-2\sqrt{5}}}{2} < 0.35$

Число из интервала $(0.25;\ 0.35)$ при округлении до десятых дает значение 0.3. Таким образом:

$p\approx 0.3$

Ответ: 0.3