Question

упростите пожалуйста на листках или других(дам 16 баллов,ну пацаны помогите )

Answer 1

Ответ:

$1+sin^{2} \alpha$

Объяснение:

Формулы приведения. Упростить выражение

$\dfrac{sin\left(\alpha -\dfrac{\pi }{4}\right) }{sin\left(\alpha +\dfrac{\pi }{4}\right)} \cdot ctg\left(\alpha -\dfrac{5\pi }{4}\right )+cos\left(\dfrac{\pi }{2}+\alpha \right)\cdot sin\left(\alpha -\pi }\right)$

Воспользуемся тем, что функции синус и котангенс нечетные и преобразуем к виду удобному для применения формул приведения

$\dfrac{sin\left(\alpha -\dfrac{\pi }{4}\right) }{sin\left(\alpha +\dfrac{\pi }{4}\right)} \cdot ctg\left(\alpha -\dfrac{5\pi }{4}\right )+cos\left(\dfrac{\pi }{2}+\alpha \right)\cdot sin\left(\alpha -\pi }\right)=\\\\=\dfrac{-sin\left( \dfrac{\pi }{4}-\alpha \right) }{sin\left(\dfrac{\pi }{4}+\alpha \right)} \cdot (-ctg\left(\pi +\dfrac{\pi }{4}-\alpha \right ))-cos\left(\dfrac{\pi }{2}+\alpha \right)\cdot sin\left(\pi -\alpha }\right)=$

$\dfrac{sin\left(\dfrac{\pi }{4}-\alpha \right)}{sin\left(\dfrac{\pi }{4}+\alpha \right)} \cdot ctg\left(\dfrac{\pi }{4}-\alpha \right )-cos\left(\dfrac{\pi }{2}+\alpha \right)\cdot sin\left(\pi -\alpha }\right)$

Воспользуемся формулами

$ctg\alpha =\dfrac{cos\alpha }{sin\alpha }$

$cos\left(\dfrac{\pi }{2} +\alpha\right)=-sin\alpha$

$sin (\pi -\alpha )=sin\alpha$

$\dfrac{sin\left(\dfrac{\pi }{4}-\alpha \right)}{sin\left(\dfrac{\pi }{4}+\alpha \right)} \cdot \dfrac{cos\left(\dfrac{\pi }{4}-\alpha \right)}{sin\left(\dfrac{\pi }{4}-\alpha \right)} +sin\alpha \cdot sin\alpha =\dfrac{cos\left(\dfrac{\pi }{4}-\alpha \right)}{sin\left(\dfrac{\pi }{4}+\alpha \right)} +sin^{2} \alpha$

Представим  $\dfrac{\pi }{4} -\alpha = \dfrac{\pi }{2} -\left(\dfrac{\pi }{4} +\alpha\right)$

$\dfrac{cos\left(\dfrac{\pi }{2} -\left(\dfrac{\pi }{4}+\alpha \right)\right)}{sin\left(\dfrac{\pi }{4}+\alpha \right)} +sin^{2} \alpha=\dfrac{sin\left(\dfrac{\pi }{4}+\alpha \right)}{sin\left(\dfrac{\pi }{4}+\alpha \right)} +sin^{2} \alpha=1+sin^{2} \alpha$

#SPJ1