Question

СРОЧНО НУЖНО
Обчисліть площу фігури, обмеженою лініями: x²-2x+y+2=0 і x-y-4=0

Answer 1

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченная линиями равна 4,5 ед².

Пошаговое объяснение:

Вычислите площадь фигуры, ограниченную линиями:

x² - 2x + y + 2 = 0   и   x - y - 4 = 0

Выразим у:

1)   у = -х² + 2х - 2

- квадратичная функция, график парабола, ветви вниз.

2) у = х - 4

- линейная функция, график - прямая.

• Площадь фигуры найдем по формуле:

              $\boxed {\displaystyle \bf S=\int\limits^b_a {(f_2(x)-f_1(x))} \, dx }$

Найдем точки пересечения графиков:

-х² + 2х - 2 = х - 4

х² - х - 2 = 0

По теореме Виета определим корни:

х₁ = -1;     х₂ = 2

- это пределы интегрирования.

a = -1 (слева); b = 2 (справа); f₂(x) = -x₂ + 2x - 2 (сверху); f₁(x) = x - 4 (снизу)

• Формула Ньютона - Лейбница:

              $\boxed {\displaystyle \bf \int\limits^b_a {f(x)} \, dx=F(b)-F(a) }$

Найдем площадь:

$\displaystyle S=\int\limits^2_{-1} {(-x^2+2x-2-x+4)} \, dx =\int\limits^2_{-1} {(-x^2+x+2)} \, dx =\\\\\\=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\bigg|^2_{-1}=\left(-\frac{8}{3} +\frac{4}{2}+4\right)-\left(-\frac{-1}{3} +\frac{1}{2}-2\right)=\\ \\ \\ =-\frac{8}{3}+6-\frac{1}{3}+\frac{3}{2} }=4,5$

Площадь фигуры, ограниченная линиями равна 4,5 ед².

#SPJ1