СРОООЧНООО 80 балов
1. Гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника АВС дорівнює с. Через вершину прямого кута С до площини трикутника проведено перпендикуляр СК. Точка К віддалена від АВ на сV3/2. Знайдіть кути які утворюють прямує АК І ВК із площиною трикутника.
2. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника АВС равна с. Через вершины прямого угла С к плоскости треугольника проведена перпендикуляр СК. Точка К отдалена от АВ на с корень из трёх ÷ два. Найдите углы которые получают прямые АК и ВК с плоскостью треугольника.
Ответы
Спочатку ми можемо знайти довжину гіпотенузи трикутника АВС, використовуючи теорему Піфагора:
AB^2 + BC^2 = AC^2
Оскільки АВС - рівнобедрений трикутник, то АВ = ВС, тому:
AB^2 + AB^2 = AC^2
2AB^2 = AC^2
AB = AC/√2
Тепер ми можемо знайти довжину СК:
CK = AB/√2 = AC/2
Так як КС - висота, то трикутник АКС є прямокутним. Ми також знаємо, що КВ дорівнює (сV3/2 - АВ)/2.
Тепер ми можемо знайти тангенс кута АКС:
tan(АКС) = CK/AK = CK/(AB + KB)
Тангенс кута ВКС дорівнює:
tan(ВКС) = CK/BK = CK/(AB - KB)
Тому кути, утворені прямими АК і ВК з площиною трикутника, можуть бути знайдені, використовуючи арктангенси знайдених тангенсів.
......................................................................
Для решения задачи нам нужно воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами равнобедренного треугольника. Обозначим катеты равнобедренного треугольника АВС через а, а гипотенузу - через с.
Из свойств равнобедренного треугольника мы знаем, что катеты равны между собой, то есть а = с/корень из 2.
Также нам дано, что точка К отдалена от АВ на с корень из 3 ÷ 2, то есть КА = КВ = с корень из 3 ÷ 2.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АКС, где Х - середина стороны ВС треугольника АВС.
Применим теорему Пифагора к треугольнику АКС:
с² = а² + КХ²
Заменим значение а на с/корень из 2:
с² = (с/корень из 2)² + КХ²
Разрешим скобки и приведем подобные слагаемые:
с² = с²/2 + КХ²
КХ² = с²/2
КХ = с/корень из 2
Таким образом, точка К находится на расстоянии с/корень из 2 от середины стороны ВС.
Рассмотрим угол АКВ. Он равен углу, образованному касательной к окружности с центром в точке К и радиусом КВ, и отрезком ВК. Этот угол равен 45 градусам, так как радиус окружности и отрезок ВК являются равными сторонами прямоугольного равнобедренного треугольника.
Угол ВКС равен 90 градусов, так как ВС - это гипотенуза прямоугольного треугольника АВС.
Таким образом, углы, которые образуют прямые АК и ВК с плоскостью треугольника АВС, равны 45 и 90 градусов соответственно.