а) В групповом турнире по футболу приняло участие 4 команды. «Чистое» второе место заняла команда, набравшая 3 очка. Восстановите результаты всех матчей. б) В однокруговом футбольном турнире приняло участие n команд. При каких n «чистое» второе место могла занять команда, набравшая n −1 очко? «Чистое» второе место означает, что больше нет команд, набравших столько же очков, и есть только одна команда, набравшая больше очков, выигрыш – 3 очка, ничья – 1 очко, проигрыш – 0 очков.
Ответы
Ответ:
а) Щоб одна команда зайняла «чисте» друге місце з 3 очками, то на першому місці мусить бути команда з 4-ма очками, а на третьому та четвертому місцях - команди з 2 та 1 очком відповідно.
Отже, результати всіх матчів будуть наступними:
Команда 1: 2 очка
Команда 2: 3 очка
Команда 3: 1 очко
Команда 4: 4 очка
б) Щоб команда з набраними n - 1 очком зайняла «чисте» друге місце, не повинно бути жодної іншої команди з n-1 або більше очками.
В однокруговому турнірі кожна команда грає з кожною, тому кількість очок, яку може набрати команда, складається з наступних можливих значень: 3, 1, 0.
Отже, щоб команда з набраними n-1 очками зайняла «чисте» друге місце, всі інші команди повинні мати не більше n-2 очок, тобто не повинні набрати більше 1 перемоги.
З іншого боку, щоб було можливо набрати n-1 очок, команда повинна мати, принаймні, одну перемогу.
Отже, команда може зайняти «чисте» друге місце, набравши n-1 очок, якщо всі інші команди набрали не більше однієї перемоги, тобто при n ≥ 4.