На складальний конвеєр агрегатів з першого верстата-автомата надходить 40% деталей , з другого - 30% , з третього - 20% , з четвертого - 10%. Якщо при складанні буде використано деталь з першого верстата , то ймовірність одержання високоякісного агрегату дорівнює 0.98, для деталей з другого , третього та четвертого верстатів ця ймовірність становить відповідно: 0.99 , 0.995 і 0.998
а) Знайдіть ймовірність сходження з конвеєра високоякісного агрегату
б) В умовах даної задачі з конвеєра зійшов високоякісний агрегат. Деталь з якого верстата імовірніше за все використана в ньому ?
Ответы
Відповідь: Тяжіло
Пояснення:
а) Щоб зібрати високоякісний агрегат, потрібно мати високоякісні деталі з кожного верстата. Ймовірність того, що деталь з першого верстата буде високоякісною, дорівнює 0.98, з другого - 0.99, з третього - 0.995, з четвертого - 0.998.
Таким чином, ймовірність того, що з конвеєра зійде високоякісний агрегат, можна обчислити за формулою умовної ймовірності:
P = P(A1) * P(A2|A1) * P(A3|A1∩A2) * P(A4|A1∩A2∩A3),
де Ai - подія, що деталь з верстата i є високоякісною, P(Ai) - ймовірність події Ai, P(Aj|Ai) - умовна ймовірність події Aj при умові, що подія Ai вже сталася.
Підставляючи дані з умови задачі, отримуємо:
P = 0.4 * 0.98 * 0.3 * 0.99 * 0.2 * 0.995 * 0.1 * 0.998 ≈ 0.0059
Таким чином, ймовірність того, що з конвеєра зійде високоякісний агрегат, дорівнює близько 0.59%.
б) Для визначення, з якого верстата найбільш імовірно була взята деталь для складання високоякісного агрегату, використаємо формулу Байеса. За умовою задачі, деталь з першого верстата взята з ймовірністю 0.4, з другого - 0.3, з третього - 0.2, з четвертого - 0.1. При цьому, ймовірність отримати високоякісний агрегат з деталей першого, другого, третього та четвертого верстатів дорівнює відповідно 0.98, 0.99, 0.995 та 0.998.
Нехай В - подія, що високоякісний агрегат містить деталь з першого верстата, А - подія, що високоякісний агрегат зібраний з деталей з конвеєра. Тоді, за формулою Байеса:
P(В | A) = P(A | В) * P(В) / P(A),
де P(В | A) - ймовірність, що деталь з першого верстата була взята для складання високоякісного агрегату при умові, що агрегат виявився високоякісним, P(A | В) - умовна ймовірність того, що агрегат виявився високоякісним при використанні деталі з першого верстата, P(В) - апріорна ймовірність того, що деталь з першого верстата була взята для складання агрегату, P(A) - загальна ймовірність того, що високоякісний агрегат був складений з будь-яких деталей з конвеєра.
За умовою задачі, P(В) = 0.4, P(A | В) = 0.98, P(A) можна знайти як суму усіх можливих варіантів використання деталей з конвеєра для складання високоякісного агрегату:
P(A) = P(А | В) * P(В) + P(А | C) * P(С) + P(А | D) * P