Даю 50 балов Доведіть використовуючи метод координат, що висоти довільного трикутника перетинаються в одній точці
Ответы
Відповідь:
За методом координат для доведення перетину висот трикутника в одній точці необхідно знайти координати точок перетину висот і перевірити, чи вони збігаються. Це можна зробити, вирішивши систему рівнянь для кожної висоти трикутника. Якщо координати точок перетину висот збігаються, то висоти перетинаються в одній точці.
Пояснення:
Метод координат доводить перетин висот в трикутнику за допомогою координат точок. Розглянемо трикутник ABC з вершинами A(x1, y1), B(x2, y2) та C(x3, y3).
Висота AD проведена з вершини A трикутника ABC і перетинає сторону BC в точці D(xd, yd). Також нехай координати точки E, де висота BE перетинає сторону AC, дорівнюють (xe, ye), а координати точки F, де висота CF перетинає сторону AB, дорівнюють (xf, yf).
Знайдемо координати точки D. Оскільки AD перпендикулярна до BC, то координата xD буде дорівнювати xD = x1. Щоб знайти yD, розв'язуємо систему рівнянь:
рівняння прямої, що проходить через точки A та B: (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)
рівняння прямої, що проходить через точки C та D: (y - y3) / (yD - y3) = (x - x3) / (xD - x3)
Розв'язуючи цю систему, знаходимо координати точки D: xD = x1, yD = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (xD - x1) + y1.
Аналогічним чином знаходимо координати точок E та F. Звертаємо увагу, що у рівняннях необхідно використовувати координати вершин трикутника, які нам відомі.
Тепер перевіримо, чи перетинаються висоти трикутника в одній точці. Для цього необхідно перевірити, чи координати точок D, E та F збігаються. Якщо так, то висоти перетинаються в одній точці.
Отже, якщо координати точок D, E та F збігаються, то висоти трикутника перетинаються в одній точці. Цим самим методом координат доводиться перетин висот трикутника в одній точці.