дано точки A (-2;4) B (4;4) C (-1;3) Знайти:
3) координати вектора a=2AC-AB.
4) косинус кута між векторами AC і BA
Ответы
Ответ:
Координати вектора AC:
AC = (x<sub>C</sub> - x<sub>A</sub>, y<sub>C</sub> - y<sub>A</sub>) = (-1 - (-2), 3 - 4) = (1, -1)
Координати вектора AB:
AB = (x<sub>B</sub> - x<sub>A</sub>, y<sub>B</sub> - y<sub>A</sub>) = (4 - (-2), 4 - 4) = (6, 0)
Координати вектора a:
a = 2AC - AB = 2(1, -1) - (6, 0) = (2, -2) - (6, 0) = (-4, -2)
Отже, координати вектора a дорівнюють (-4, -2).
Косинус кута між векторами AC і BA:
Векторний добуток векторів AC і BA дорівнює:
AC × BA = |AC| |BA| sinθ n
де |AC| і |BA| - довжини векторів AC і BA, θ - кут між ними, а n - одиничний вектор, перпендикулярний площині, утвореній векторами AC і BA в напрямку, визначеному за допомогою правила лівої руки.
Для обчислення косинуса кута між векторами можна використовувати наступну формулу:
cosθ = (AC · BA) / (|AC| |BA|),
де AC · BA - скалярний добуток векторів AC і BA.
Знаходимо довжини векторів:
|AC| = sqrt(1^2 + (-1)^2) = sqrt(2)
|BA| = sqrt(6^2 + 0^2) = 6
Знаходимо скалярний добуток векторів:
AC · BA = 1*6 + (-1)*0 = 6
Тоді косинус кута між векторами дорівнює:
cosθ = (AC · BA) / (|AC| |BA|) = 6 / (sqrt(2) * 6) = sqrt(2) / 2
Отже, косинус кута між векторами AC і BA дорівнює sqrt(2) / 2.